Parameterkrommen > Totaalbeeld
12345Totaalbeeld

Toepassen

Opgave 9Cycloïde
Cycloïde

De cycloïde is de kromme die het ventiel van je fietsband doorloopt als je met een constante snelheid fietst. Het is dus de beweging van een punt op een constant rollende cirkel...

Hier zie je een cycloïde ontstaan vanuit een punt dat op een draaiende cirkel met straal 1 ligt, waarvan de as beweegt langs de lijn y = 1 .
De bijbehorende parametervoorstelling is: x ( t ) = t sin ( t ) en y ( t ) = 1 cos ( t ) .

a

Leid zelf deze parametervoorstelling af.

b

Laat door een berekening zien dat de keerpunten van deze kromme ( k 2 π , 0 ) zijn.

c

Hoeveel procent van elke omwenteling van het wiel zit het ventiel hoger dan 1 m? Beredeneer dit, maar laat ook zien hoe het uit de bewegingsvergelijkingen volgt.

Opgave 10De gravitatiewet van Newton
De gravitatiewet van Newton

Een hele mooie toepassing van krommen zijn de banen van de planeten om de zon. Die worden bepaald door de drie wetten van Kepler waaruit de gravitatiewet van Newton is af te leiden.
Volgens Kepler beschrijven de planeten een ellipsvormige, bijna cirkelvormige, baan om de zon waarbij T 2 / R 3 voor alle planeten gelijk is. T is de omlooptijd in jaren en R de (gemiddelde) afstand tot de zon in AE ( 1 AE = 1 astronomische eenheid = de straal van de Aardbaan).

Om een model voor de planetenbanen op te stellen neem je de Zon als oorsprong van een x y-assenstelsel waarin alle planeten bewegen (in werkelijkheid liggen niet alle banen precies in één vlak). Uitgaande van zuivere cirkelbanen, geldt dan voor de baan van elke planeet ( x ( t ) , y ( t ) ) = ( R cos ( 2 π T t ) , R sin ( 2 π T t ) ) .

a

Door differentiëren bepaal je de snelheidsvector en de versnellingsvector. Leid uit de baanvergelijkingen af, dat voor de snelheid geldt v = 2 π R T en dat voor de versnelling geldt a = 4 π 2 R T 2 .

b

Laat zien dat a = v 2 R .

Volgens Newton geldt voor elke massa m dat er een kracht F = m a nodig is om hem een versnelling van a te geven en volgens Kepler is T 2 / R 3 = k een constante.

c

Laat zien dat hieruit volgt F = 4 π 2 k m R 2 .

Newton bedacht dat in een algemene gravitatiewet die de aantrekkingskracht van de planeten en de zon van ons planetenstelsel zou kunnen beschrijven in ieder geval ook de massa M van de Zon zou moeten bevatten.

d

Leg uit waarom op grond van het voorgaande zo'n gravitatiewet de vorm F = G M m R 2 heeft.

Opgave 11Krommen in 3D
Krommen in 3D

Met P ( x ( t ) , y ( t ) ) beschrijf je hoe de coördinaten van een punt in een O x y -vlak veranderen met de tijd t. Je krijgt dan een kromme in twee dimensies.

Door het O x y -vlak als grondvlak op te vatten en tegelijkertijd het punt omhoog en/of omlaag bewegen, heb je behalve x ( t ) en y ( t ) ook een functie z ( t ) nodig. Die laatste functie legt dan vast hoe hoog het punt boven het O x y -vlak zit. Je krijgt nu een kromme in drie dimensies.

Hier zie je in een O x y z -assenstelsel een voorbeeld van zo'n 3D-kromme: (een stukje van) een Archimedische schroeflijn. Er geldt: ( x , y , z ) = ( cos ( t ) , sin ( t ) , 0,2 t ) met t in seconden.

Wanneer je de 3D-kromme recht van boven (in de z-richting) bekijkt zie je de 2D-kromme ( x , y ) = ( cos ( t ) , sin ( t ) ) , een cirkel met straal 1. Dus elke 2 π seconden vind er één omwenteling plaats.
Bekijk je de 3D-kromme precies vanuit de y-richting, zie je ( x , z ) = ( cos ( t ) ; 0,2 t ) , een sinusoïde om de z-as.

a

Teken met je grafische rekenmachine bovenaanzicht, zijaanzicht (in de y-richting) en vooraanzicht (in de x-richting) van deze kromme. Neem 0 t 4 π .

b

Hoe lang is elke omwenteling van deze schroeflijn? En hoe groot is de afstand tussen twee punten die recht boven elkaar liggen op twee opeenvolgende omwentelingen (dit noem je de "spoed" van de schroeflijn)?

De snelheidsvector wordt in 3D gegeven door v = ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) . De snelheid in een punt is de lengte van die snelheidsvector.

c

Hoe groot is de snelheid waarmee een punt deze schroeflijn doorloopt op t = 0 ? En op andere tijdstippen?

d

Hoe ziet de parametervoorstelling er uit van een schroeflijn die op t = 0 begint in het punt ( 0 , 4 , 0 ) , ligt op een cilinder met straal 4 met als as de z-as en op t = 2 π het punt ( 0 , -4 , 2 ) passeert?

Een geheel ander soor ruimtekromme wordt beschreven door , en met . Het -vlak is het grondvlak, is de hoogte boven dit grondvlak.

e

Leg uit waarom deze kromme een soort van achtbaan voorstelt.

verder | terug