Parameterkrommen > Totaalbeeld
12345Totaalbeeld

Examenopgaven

Opgave 12Een beweging door (0,0)
Een beweging door (0,0)

De beweging van een punt in het O x y -vlak wordt voor 0 t 2 π gegeven door:

{ x ( t ) = cos ( 15 t ) + cos ( 2 t ) y ( t ) = sin ( 15 t ) + sin ( 2 t )

In de figuur is de baan van het punt getekend.

a

Bereken de exacte snelheid van het punt op tijdstip t = 0 .

De bewegingsvergelijkingen kunnen herleid worden tot:

{ x ( t ) = r ( t ) cos ( 8 1 2 t ) y ( t ) = r ( t ) sin ( 8 1 2 t )

met r ( t ) = 2 cos ( 6 1 2 t ) .

b

Toon dit aan.

Bij het doorlopen van zijn baan passeert het punt een aantal keren ( 0 , 0 ) .

c

Bereken dit aantal langs algebraïsche weg.

bron: examen wiskunde B vwo 2002, eerste tijdvak

Opgave 13Een driehoek draaiend over een cirkel
Een driehoek draaiend over een cirkel
figuur 1

Gegeven is de cirkel met vergelijking . Voor elke waarde van is gegeven de lijn met vergelijking . Elk van deze lijnen snijdt de cirkel in twee punten, namelijk in en . De coördinaten van zijn afhankelijk van .
De vector is het beeld van bij een rotatie om over . Zie figuur 1, waarin ook driehoek is weergegeven.
Voor de coördinaten van geldt:

en

a

Bewijs dat de formules voor en correct zijn.

Bij elke waarde van hoort een positie van In de twee figuren hieronder is voor twee waarden van deze positie getekend. Als varieert, beweegt over een cirkel door . Deze cirkel is gestippeld getekend.

b

Stel van de gestippelde cirkel een vergelijking op.

c

Er is een waarde van waarvoor maximaal is.

Bereken exact deze waarde van .

bron: examen vwo B 2016 : I (pilot)

Opgave 14Een W
Een W

Een punt P beweegt in het O x y -vlak volgens de vergelijkingen:

{ x ( t ) = cos ( π 15 t ) y ( t ) = cos ( 4 π 15 t )

Hierbij zijn x en y in meters, t in seconden en t 0 .
De baan die P doorloopt heeft de vorm van een W. Op tijdstip t = 0 start P in punt A ( 1 , 1 ) en op tijdstip t = 15 bevindt P zich voor het eerst in punt B ( -1 , 1 ) .

In de figuur zijn de baan die P doorloopt, de punten A en B en de lijn met vergelijking y = x getekend. Gedurende het tijdsinterval [ 0 , 15 ] bevindt P zich een aantal seconden onder de lijn met vergelijking y = x .

a

Bereken dit aantal seconden.

Op zeker moment tijdens de beweging van A naar B passeert P de y-as. Daarbij neemt de x-coördinaat van P af.

b

Bereken exact de snelheid van de x-coördinaat van P op dat moment.

bron: examen wiskunde B vwo 2012, eerste tijdvak

verder | terug