Parameterkrommen > Totaalbeeld
12345Totaalbeeld

Examenopgaven

Opgave 12Een beweging door (0, 0)
Een beweging door `(0, 0)`

De beweging van een punt in het O x y -vlak wordt voor `0 le t le 2pi` gegeven door:

{ x ( t ) = cos ( 15 t ) + cos ( 2 t ) y ( t ) = sin ( 15 t ) + sin ( 2 t )

In de figuur is de baan van het punt getekend.

a

Bereken de exacte snelheid van het punt op tijdstip t = 0 .

De bewegingsvergelijkingen kunnen herleid worden tot:

{ x ( t ) = r ( t ) cos ( 8 1 2 t ) y ( t ) = r ( t ) sin ( 8 1 2 t )

met r ( t ) = 2 cos ( 6 1 2 t ) .

b

Toon dit aan.

Bij het doorlopen van zijn baan passeert het punt een aantal keren ( 0 , 0 ) .

c

Bereken dit aantal langs algebraïsche weg.

(bron: examen wiskunde B vwo 2002, eerste tijdvak)

Opgave 13Een driehoek draaiend over een cirkel
Een driehoek draaiend over een cirkel

Gegeven is de cirkel met vergelijking `(x −1)^2 + y^2 =1` . Voor elke waarde van `a` is gegeven de lijn met vergelijking `y = ax` . Elk van deze lijnen snijdt de cirkel in twee punten, namelijk in `O` en `S` . De coördinaten van `S` zijn afhankelijk van `a` .
De vector `vec(SP)` is het beeld van `vec(SO)` bij een rotatie om `S` over `90^@` . Zie de figuur hiernaast, waarin ook driehoek `OPS` is weergegeven.
Voor de coördinaten van `P` geldt:

`x_P = (2a+2)/(a^2+1)` en `y_P = (2a-2)/(a^2+1)`

a

Bewijs dat de formules voor `x_P` en `y_P` correct zijn.

Bij elke waarde van `a` hoort een positie van `P.` In de twee figuren hieronder is voor twee waarden van `a` deze positie getekend. Als `a` varieert, beweegt `P` over een cirkel door `O` . Deze cirkel is gestippeld getekend.

b

Stel van de gestippelde cirkel een vergelijking op.

c

Er is een waarde van `a` waarvoor `x_P` maximaal is.

Bereken exact deze waarde van `a` .

(bron: pilotexamen vwo B in 2016, eerste tijdvak)

Opgave 14Een W
Een W

Een punt P beweegt in het O x y -vlak volgens de vergelijkingen:

{ x ( t ) = cos ( π 15 t ) y ( t ) = cos ( 4 π 15 t )

Hierbij zijn x en y in meters, t in seconden en t 0 .
De baan die P doorloopt heeft de vorm van een W. Op tijdstip t = 0 start P in punt A ( 1 , 1 ) en op tijdstip t = 15 bevindt P zich voor het eerst in punt B ( -1 , 1 ) .

In de figuur zijn de baan die P doorloopt, de punten A en B en de lijn met vergelijking y = x getekend. Gedurende het tijdsinterval [ 0 , 15 ] bevindt P zich een aantal seconden onder de lijn met vergelijking y = x .

a

Bereken dit aantal seconden.

Op zeker moment tijdens de beweging van A naar B passeert P de y-as. Daarbij neemt de x-coördinaat van P af.

b

Bereken exact de snelheid van de x-coördinaat van P op dat moment.

(bron: examen wiskunde B vwo 2012, eerste tijdvak)

verder | terug