Afstanden en grenzen

Afstanden en grenzen > Conflictlijnen

Overzicht

12345Conflictlijnen

Antwoorden van de opgaven

Opgave 1

Het is de verzameling punten die gelijke afstand hebben tot zowel A als B.

De twee bissectrices van de hoeken die deze lijnen met elkaar maken.

Een lijn evenwijdig aan deze lijnen die er midden tussenin loopt, de middenparallel van die twee lijnen.

Eigen antwoord.

Opgave 2

Dit wordt de middeloodlijn van $A B$ . Dit gaat over de stelling middelloodlijn.

Dit worden de twee bissectrices van de hoeken tussen $l m$ . Dit gaat over de stelling bissectrice.

Over de stelling middenparallel.

Er zijn meerdere gevallen:

De lijnstukken zijn even lang en liggen zo dat hun eindpunten een rechthoek vormen. De conflictlijn is een middenparallel van de lijnen waar ze op liggen.
De lijnstukken zijn niet even lang. De conflictlijn bestaat nu uit meerdere stukken. Afhankelijk van hoe de lijnstukken ten opzichte van elkaar liggen zullen dit stukken van een middenparallel, een parabool en een middelloodlijn zijn. Schets een paar situaties ook al weet je nog niet precies hoe je een parabool construeert. Vergelijk ook Voorbeeld 3.

Opgave 3

Eigen antwoord.

In de "hoeken" gaat het fout. Daar moet je de punten tekenen die evenver van een hoekpunt van het kleine vierkant als van de zijde van het grotere vierkant af liggen. En dan krijg je stukjes van een parabool. Bij Voorbeeld 3 kun je daar meer over bekijken.

Opgave 4

Doen, construeer minstens vijf punten van de parabool en schets hem dan. Het resultaat moet er ongeveer zo uitzien als de parabool in het voorbeeld.

Opgave 5

De conflictlijn is een parabool zolang je tussen de twee loodlijnen in $A$ en $B$ op lijnstuk $A B$ blijft. Daarbuiten is de conflictlijn aan de éne kant de middelloodlijn van $A F$ en aan de andere kant de middelloodlijn van $B F$ .

Opgave 6

Het deel waarin wordt aangetoond dat de middelloodlijn van $P Q$ een raaklijn van de parabool in $P$ is.

Omdat $m$ middelloodlijn is van $Q F$ geldt $| F C | = | C Q |$ en $∠ F C P = ∠ Q C P = 90 °$ . Verder is $| C P | = | C P |$ . Dus is $∆ F C P ≅ ∆ Q C P$ (ZHZ).

Opgave 7

Maak een geschikte figuur.
Bewijs:
De lijn $m$ is raaklijn en dus middelloodlijn van $V F$ . Punt $M$ is het midden van $V F$ . Dan is $∠ M P F + ∠ M F P = 90 °$ (hoekensom driehoek) en $∠ M P S = 90 °$ (gegeven). Hieruit volgt: $∠ M F P = ∠ F P S$ .
En dus is $V F / / P S$ (Z-hoeken). Ook is $P V / / F S$ (beide loodrecht op de richtlijn). Daarom is $V P S F$ een parallellogram (steling parallellogram) en dus is $| F S | = | P V |$ .

Als $∠ F V P = 60 °$ dan is $∆ F V P$ een gelijkzijdige driehoek. En dan is vierhoek $F V P S$ een ruit.

Opgave 8

De conflictlijn bestaat uit vier gedeelten. Van links naar rechts:

Het eerste deel is de middenparallel van de grens van $G_{1}$ en de halve lijn met eindpunt $A$ die een deel van $G_{2}$ is. Dit deel loopt tot het midden van het loodlijnstuk vanuit $A$ op $G_{1}$ .
Het tweede deel is een stukje van de parabool die de meetkundige plaats is van de punten met gelijke afstanden tot $A$ en $G_{1}$ . Dit deel loopt tot deze parabool de bissectrice van de hoek die wordt gevormd door lijn $A B$ en de grens van het gebied $G_{1}$ , raakt.
Het derde deel is een stuk van de bissectrice van de hoek die wordt gevormd door lijn $A B$ en de grens van het gebied $G_{1}$ . Dit deel loopt tot deze bissectrice de parabool die de meetkundige plaats is van de punten met gelijke afstanden tot $B$ en $G_{1}$ raakt.
Het vierde deel is de parabool die de meetkundige plaats is van de punten met gelijke afstanden tot $B$ en $G_{1}$ .

Laat $l$ de grens van het gebied $G_{1}$ zijn.
Voor de gelijke afstanden rond punt $A$ geldt dan dat er precies één punt is waarvoor geldt $d (P, l) = d (P, A)$ en tegelijk $d (P, l) = d (P, A B)$ . Dan staat $P A$ loodrecht op $A B$ .
Hetzelfde geldt rond punt $B$ .

Doen.

Opgave 9

Uit vijf delen. Van links naar rechts bestaat deze verzameling van punten uit:

Het eerste deel is een deel van de parabool waarvoor $d (P, B) = d (P, l)$ . Dit deel loopt tot het snijpunt van het loodlijnstuk vanuit $B$ op $B C$ en de bissectrice van de hoek tussen $B C$ en $l$ .
Het tweede deel is een stuk van de bissectrice van de hoek tussen $B C$ en $l$ . Dit deel loopt tot het snijpunt van het loodlijnstuk vanuit $C$ op $B C$ en de bissectrice van de hoek tussen $B C$ en $l$ .
Het derde deel is een stuk van de parabool waarvoor $d (P, A) = d (P, l)$ . Dit deel loopt tot het snijpunt van het loodlijnstuk vanuit $C$ op $A C$ en de bissectrice van de hoek tussen $A C$ en $l$ .
Het tweede deel is een stuk van de bissectrice van de hoek tussen $A C$ en $l$ . Dit deel loopt tot het snijpunt van het loodlijnstuk vanuit $A$ op $A C$ en de bissectrice van de hoek tussen $A C$ en $l$ .
Het vijfde deel is een deel van de parabool waarvoor $d (P, A) = d (P, l)$ . Dit deel loopt vanaf het snijpunt van het loodlijnstuk vanuit $A$ op $A C$ en de bissectrice van de hoek tussen $A C$ en $l$ .

Zie figuur.

Opgave 10

In de "hoeken" krijg je stukjes van een parabool.

Opgave 11

Dat worden drie middelloodlijnen.

Zie figuur. Zoiets heet een voronoidiagram.

Zie figuur. Je begint nu met bissectrices.

Opgave 12

Doen.

$d (P, F) = d (P, r)$ geeft $\sqrt{x^{2} + {(y - 2)}^{2}} = y + 2$ . Even kwadrateren en wat herleiden levert het gewenste resultaat.

Opgave 13

De gevraagde conflictlijn bestaat uit vier delen, zie figuur.

Opgave 14

Doen; zie figuur bij c.

Zie figuur bij c.

Zie figuur.
Bij het bewijs maak je gebruik van het feit dat de lichtstraal het verlengde van $Q P$ is. De hoek van inval is aangegeven met een sterretje en gelijk aan de hoek van terugkaatsing, maar ook gelijk aan de hoek tussen de raaklijn en $Q P$ . Omdat die raaklijn de middelloodlijn van $F Q$ is, moet de lichtstraal wel langs $P F$ terug kaatsen.

Opgave 15

Kies eigen afmetingen, beide lijnstukken zijn even lang. De gevraagde conflictlijn bestaat uit vijf stukken, waarvan er twee de middelloodlijnen van $A D$ en $B C$ zijn, er twee delen van parabolen zijn en er één een deel van de middenparallel van $A B$ en $C D$ is. Zie figuur.

Opgave 16

Begin met het drielandenpunt $D$ , het snijpunt van de middelloodlijn van aan $A B$ en de middeloodlijn van $A C$ (en dus ook van de middeloodlijn van $B C$ ) als de middeloodlijn van $C$ het snijpunt van die middelloodlijn met $k$ is.

De grenslijnen zijn de punten $P$ op de parabool waarvoor $d (P, A) = d (P, k)$ tot aan punt $D$ en de punten $P$ op de parabool waarvoor $d (P, B) = d (P, k)$ vanaf punt $D$ en de middelloodlijn van $A B$ vanaf punt $D$ .

verder | terug