Afstanden en grenzen

Afstanden en grenzen > Conflictlijnen

12345Conflictlijnen

Voorbeeld 2

Bekijk de applet.

Bewijs de stelling:
De raaklijn in een punt $P$ van de parabool $p$ met richtlijn $l$ en brandpunt $F$ is de deellijn van de hoek tussen $P F$ en de loodlijn van $P$ op $l$ .

> antwoord

Gegeven:
Zie figuur. $m$ is de middelloodlijn van $Q F$ . Lijn $P Q$ staat loodrecht op $l$ .

Te bewijzen:
$m$ is raaklijn aan de parabool en $∠ Q P C = ∠ C P F$ .

Bewijs:
$m$ snijdt de parabool in $P$ en in geen enkel ander punt. Want zou er nog een snijpunt $P^{'}$ met de parabool zijn, dan is $| P^{'} F | = | P^{'} Q | > d (P, l)$ want $P^{'} Q$ staat niet loodrecht op $l$ . Conclusie: $m$ heeft precies één punt met de parabool gemeen en is raaklijn van de parabool.
De gelijkheid van beide hoeken volgt onmiddellijk uit de congruentie van $∆ F C P$ en $∆ Q C P$ .
Q.e.d.

Opgave 6

In Voorbeeld 2 wordt bewezen dat de raaklijn in $P$ aan een parabool de bissectrice is van de hoek die het lijnstuk vanuit het brandpunt van de parabool naar $P$ maakt met de loodlijn op de richtlijn die door $P$ gaat.

Een deel van het bewijs is een indirect bewijs, een bewijs uit het ongerijmde. Welk deel is dat?

Waarom zijn $∆ F C P$ en $∆ Q C P$ congruent?

Opgave 7

Een parabool $p$ heeft brandpunt $F$ en richtlijn $l$ . Punt $P$ ligt op deze parabool. $V$ is het voetpunt van $P$ op de richtlijn en $S$ is het snijpunt van de symmetrieas van de parabool en een lijn door $P$ loodrecht op de raaklijn in $P$ aan de parabool.

Bewijs dat $| F S | = | P V |$ .

Bestaat er een situatie waarin vierhoek $F V P S$ een ruit is? Licht je antwoord toe.

verder | terug