Afstanden en grenzen

Afstanden en grenzen > Totaalbeeld

Overzicht

12345Totaalbeeld

Antwoorden van de opgaven

Opgave 1

Zie figuur.

Opgave 2

De conflictlijn bestaat uit twee delen die bij elkaar komen op de bissectrice van beide lijnen waar punt $P$ op ligt. Beide delen zijn een deel van de parabool die de conflictlijn is van $P$ en $l$ , respectievelijk $m$ .
Construeer van beide parabolen minstens vijf punten.

Opgave 3

De richtlijn staat loodrecht op $m$ en een lijn $k$ die door $P$ gaat en loodrecht op die richtlijn staat, maakt een hoek van $30 °$ met $l$ .
Als $F$ het brandpunt is van de parabool, dan maakt ook $P F$ een hoek van $30 °$ met $l$ , alleen aan de andere kant van die lijn. Verder ligt $F$ op $m$ , zodat $F$ het snijpunt is van $m$ en lijn $P F$ . Nu punt $F$ bekend is kun je ook de richtlijn tekenen, die staat namelijk loodrecht op $m$ en heeft een afstand van $| P F |$ tot punt $F$ .
Maak tenslotte de parabool af.

Opgave 4

$P$ is het snijpunt van de middelloodlijn van $S F$ en de lijn $S M$ .

Bepaal de loodlijn in punt $F$ op de lijn $M F$ . Deze loodlijn snijdt de cirkel in de punten $S_{1}$ en $S_{2}$ . Driehoek $M F S_{1}$ en driehoek $M F S_{2}$ zijn rechthoekige driehoeken.

Opgave 5

Zie figuur.

I is een deel van de middelloodlijn van $A T$ .
II is een deel van de ellips met brandpunten $T$ en $M$ die door het midden van $A T$ gaat.
III is een deel van de middelloodlijn van $B T$ vanaf het snijpunt met $B M$ .

Opgave 6

Bewijs:
$| D A | = d (D, k)$ en $| D B | = d (D, k)$ , dus $| D A | = | D B |$ (definitie parabool). Dus $D$ ligt op de middelloodlijn van $A B$ (stelling middelloodlijn). Q.e.d.

Bewijs:
$| R A | = | R S |$ als punt $S$ de loodrechte projectie van $R$ op lijn $k$ is. Verder is $m$ de middelloodlijn van $A S$ . Punt $Q$ is het snijpunt van $m$ en $A S$ .
De driehoeken $C Q S$ en $C Q A$ zijn congruent (ZHZ). En dus is $∠ Q C S = ∠ Q C A$ . Q.e.d.

Opgave 7Parabolische spiegel

Parabolische spiegel

Omdat de twee hoeken tussen lijn $QP$ en de raaklijn overstaande hoeken en dus gelijk zijn.

De richtlijn van de parabool staat loodrecht op de symmetrieas op $3$ cm aan de andere kant van $S$ dan $L$ . Nu kun je de parabool en de lichtstralen construeren.

Opgave 8Twee spijkers en een touw

Twee spijkers en een touw

Doen, je krijgt een ellips.

Bekijk nog eens hoe je een ellips construeert. Neem $P$ voor de plaats van het potlood en $A$ en $B$ de twee spijkers. Nu is $| P A | + | P B |$ de constante lengte van het touw. Als je op halve lijn $A P$ een punt $Q$ tekent zo, dat $| P Q | = | P B |$ , dan is $| P A | + | P Q |$ gelijk aan de constante lengte van het touw en dus doorloopt $Q$ een cirkel als je $P$ beweegt.

Opgave 9Gelijke afstanden

Gelijke afstanden

Bewijs:
Uit de gegevens volgt: $| L P | = | L Q |$ en $| P R | = | M Q |$ . Verder geldt $| M L | = | M Q | - | L Q |$ en $| L R | = | P R | - | P L |$ . Dus $| M L | = | L R |$ . Hieruit volgt: $L$ ligt op de middelloodlijn van $M R$ (middelloodlijn).
Q.e.d.

De meetkundige plaats is een deel van de parabool met brandpunt $M$ en richtlijn $k$ . De eindpunten van het betreffende deel van de parabool zijn de eindpunten van de cirkelboog. De top van de parabool is getekend als midden van het loodlijnstuk vanuit $M$ op $k$ . Teken minstens twee andere punten van het deel van de parabool door een punt $R$ op $k$ te kiezen en het snijpunt van de middelloodlijn van $MR$ en de loodlijn door $R$ op $k$ te bepalen (of: door een cirkelboog te tekenen met middelpunt $M$ en een straal die kleiner is dan de straal van de gegeven cirkelboog en snijpunten hiervan te bepalen met de lijn die parallel is met $k$ en die tussen $g$ en $k$ ligt zo dat de afstand tot $k$ gelijk is aan de straal van de nieuwe cirkelboog).

(bron: examen wiskunde B vwo 2011, tweede tijdvak)

Opgave 10Met vast brandpunt en vaste raaklijn

Met vast brandpunt en vaste raaklijn

De raaklijn $m$ is de middelloodlijn van $F V$ , waarbij $m$ de loodrechte projectie van $R$ op de richtlijn van de parabool is. Teken punt $V$ en vervolgens de richtlijn van de parabool door $V$ en loodrecht op $R V$ .
Nu kun je de parabool afmaken.

(bron: examen wiskunde B1,2 vwo 2006, tweede tijdvak)

verder | terug