Ondergrens: `bar(L_2) - sigma_2 = 182 - 7 = 175` cm.
Bovengrens: `bar(L_2) + sigma_2 = 182 + 7 = 189` cm.

Ondergrens: `bar(L_2) - 2sigma_2 = 182 - 2*4 = 168` cm.
Bovengrens: `bar(L_2) + 2sigma_2 = 182 + 2*7 = 196` cm.

Tussen de gegeven waarden zit `95` % van de soldaten. Daarbuiten zit dan `100 - 95 = 5` %.
`5` % komt overeen met een kans van `0,05` .

De klokvormige verdeling is symmetrisch, dus tussen `175` cm en `182` cm zit `68/2 = 34` %.

Het percentage is `(100-68)/2 = 16` %. Dat zijn dus `0,16*500=80` soldaten.

`bar(L) - σ = 500 - 100 = 400`
Bekijk de oppervlakte onder de normaalkromme rechts van `bar(L) - σ` .
Die is `34 + 34 + 13,5 + 2,5 = 84` %.

`bar(L) - sigma = 500 - 100 = 400` en `bar(L) + 2* sigma = 500 + 2 * 100 = 700` .
Bekijk de oppervlakte onder de normaalkromme tussen `bar(L) - sigma` en `bar(L) + 2*sigma` .
Die is `34 + 34 + 13,5 = 81,5` %.

`bar(L) + sigma = 500 + 100 = 600`
Bekijk de oppervlakte onder de normaalkromme links van `bar(L) + sigma` .
Die is `2,5 + 13,5 + 34 + 34 = 84` %.

`3,4 + 11,6 + 23,9 = 38,9` % en hieruit volgt `text(P)(165 ≤ L < 180)=0,389` .

In het Practicum zie je wat je moet doen met de grafische rekenmachine. De uitkomst is: `~~0,380` .

`text(P)(166 ≤ L < 177 \|\ μ(L)=182 text( en ) σ(L)=7 ) ~~ 0,226`

`text(P)(L < 166 \|\ μ(L)=182 text( en ) σ(L)=7) ~~ 0,011` , dus `1,1` %.

`text(P)(L > 192 \|\ μ(L)=182 text( en ) σ(L)=7) ~~ 0,077` , dus `7,7` %.

`mu = 182` en `sigma = 7` =>

• Eerste vuistregel:
  `μ - σ = 175` en `μ + σ = 189`
  `text(P)(175 lt L lt 189) ~~ 0,683` en dat is ongeveer `68` %.

• Tweede vuistregel:
  `μ - 2σ = 168` en `μ + 2σ = 196`
  `text(P)(168 lt L lt 196) ~~0,954` en dat is ongeveer `95` %.

`mu = 182` en `sigma = 7` dus `μ - 3σ = 161` en `μ + 3σ = 203` .

`text(P)(161 < L < 203) ≈ 0,997` , dus ongeveer `99,7` %.

Precies de helft van de werknemers heeft een salaris onder het gemiddelde. Dat is `50` %.

Dat is `34 + 34 + 13,5 = 81,5` % van de werknemers.

Het gemiddelde maandsalaris van het eerste bedrijf is € 1200,00. Dat is precies `sigma_2` hoger dan dat van het tweede bedrijf. De kans is `13,5+2,5=16` %.

Bedenk: `85 = μ - σ` en `115 = μ + σ` .
Gebruik vuistregel 1 die zegt dat grofweg `68` % van de waarden ligt tussen `μ - σ` en `μ + σ` .

Bedenk: `130 = μ + 2σ` .
Vuistregel 2 zegt: grofweg `95` % van de waarden ligt tussen `μ - 2σ` en `μ + 2σ` .
Van de overige `5` % ligt de helft rechts van het `95` %-gebied, wat betekent dat `2,5` % van de mensen een IQ heeft dat groter is dan `130` .

`100 - 2,5 = 97,5` %.

`16` % hoort precies bij de linkergrens van het `68` % gebied.

Dan heb je een IQ dat lager is dan `100 - 15 = 85` .

De kans dat een willekeurige soldaat uit de onderzochte groep een lengte heeft tussen `162` en `178` cm.

`text(P)(171 < L < 178 | mu = 182 text( en ) sigma = 7) ≈ 0,226` , dus ongeveer `22,6` %.

Met de grafische rekenmachine is het percentage soldaten dat precies 171 cm lang is gelijk aan `text(P)(171 ≤L≤171 | mu = 182 text( en ) sigma = 7)=0` , dus `0` %.

`1,5 * σ = 10,5` dus `μ - 1,5 *σ = 182 - 10,5 = 171,5` en `μ + 1,5 *σ = 182 + 10,5 = 192,5` .

`text(P)(171,5 ≤ L < 192,5) ≈ 0,866` , dus ongeveer `86,6` %.

De kansvariabele `X` is het aantal centimeter spanwijdte.
`text(P)(X > 6 | mu = 5,2 text( en ) sigma = 0,8) ~~ 0,159` dus `15,9` %.

`1000 * text(P)( 5 < X < 6 | mu = 5,2 text( en ) sigma = 0,8) ~~ 1000 * 0,440 = 440` .

`text(P)(X > 6,5 | mu = 5,2 text( en ) sigma = 0,8) ~~ 0,052`

`text(P)(G < 140 | μ=150 text( en ) σ=17) ≈ 0,278`

`text(P)(140 < L < 160 | μ=150 text( en ) σ=17) ≈ 0,444` dus `44,4` %.

`text(P)(G < 120 | μ=150 text( en ) σ=17) ≈ 0,039` dus `0,039 *340 ≈ 13` appels.

`text(P)(L ≤ g) = 0,20` geeft `g ≈ 176,1` cm.

Bedenk dat je dit ook zonder de grafische rekenmachine kunt berekenen, want deze grenswaarde ligt even ver van de gemiddelde lengte van `182`  cm af als lengte van `187,9`  cm (vanwege symmetrie) die de grenswaarde was voor de `20` % langste soldaten.

`a` geeft de grens aan van de `10` % tussen `mu` en `a` en dus is `a` de grens aan van de kleinste `50 + 10 = 60` %.
`text(P)(L ≤ a) = 0,60` geeft `a ≈ 183,8`  cm.

`text(P)(L ≤ g) = 1/3` geeft `g ≈ 179,0` cm.
De maat small is geschikt voor soldaten die maximaal `179` cm lang zijn.

Het gaat hier in ieder geval om soldaten met een lengte vanaf `179` cm.

`text(P)(L ≤ g) = 2/3` geeft `g ≈ 185,0` cm.
De maat M is voor soldaten met een lengte tussen `179` cm en `185` cm.

De fabrikant moet dan gemiddeld méér suiker in een pak stoppen.

De normaalkromme wordt volledig bepaald door gemiddelde en standaardafwijking. Omdat hier alleen het gemiddelde verandert ( `μ` wordt `2,93`  gram groter) blijft de kromme zelf even breed en even hoog, maar hij verschuift wel met `2,93` naar rechts.

Je moet `text(P)(X < 1000 | μ = 1000 text( en ) σ = x) le 0,05` oplossen.

Bereken met de grafische rekenmachine het snijpunt van de lijn `y_1=0,05` en de grafiek van `y_2 = binomcdf(text(-)10^99,1000,1000,x)` . Dit geeft: `σ ~~ 1,216` .

Het voordeel voor de fabrikant is dat dit ongeveer evenveel suiker kost, het nadeel kan zijn dat hij een nieuwe machine moet aanschaffen die nauwkeuriger is.

De normaalkromme verschuift niet, maar wordt smaller omdat `sigma` kleiner wordt. Het totale oppervlak onder de kromme blijft gelijk en de top bij het gemiddelde wordt hoger.

Los op: `text(P)(G < 1000 | mu = x text( en ) sigma = 3) = 0,025` .
Met de grafische rekenmachine bereken je dat het nieuwe gemiddelde dan ongeveer `1005,9`  gram moet zijn.

Nee, het vulgewicht van een pak suiker is een toevalsvariabele, dus er blijft altijd een (heel kleine) kans dat er pakken te licht zijn.

Ongeveer `0,2119` .

Ongeveer `0,5808` .

Ongeveer `0,4298` .

Grofweg `68` % van de pakken wijkt minder dan één standaardafwijking af van het gemiddelde. Dat betekent dat er nog ongeveer `32` % van de pakken over is en deze pakken wijken meer dan één standaardafwijking af van het gemiddelde.

`510` is het gemiddelde plus eenmaal de standaardafwijking: ongeveer `50 + 1/2 * 68 = 84` % van de pakken heeft een gewicht van minder dan `510` gram.

Naar schatting weegt `2,5 + 13,5 + 20 = 36` % van de pakken minder dan `500` gram. Dat is inderdaad minstens een derde. Waarschijnlijk krijgen de klagers gelijk.

`100 * text(P)(G < 1000 | μ = 1010 text( en ) σ = 9) ~~ 13,3` %.

De snelste manier: `100 - 13,3 = 86,7` %.

De gewone manier: `100 * text(P)(G > 1000 | μ = 1010 text( en ) σ = 9) ~~ 86,7` %.

`text(P)(G > 1005 | μ = 1010 text( en ) σ = 9) ~~ 0,7107`

`100 * text(P)(G < 980 | μ = 1010 text( en ) σ = 9) ~~ 0,04` %.

`text(P)(1005 < G < 1015 | μ = 1010 text( en ) σ = 9) ~~ 0,4215`

Los op met de grafische rekenmachine: `text(P)(G < 900 | μ = 1000 text( en ) σ = x) = 0,05` .

Dit geeft: `σ ~~ 60,8` gram.

`100 * text(P)(G < 900 | μ = 1000 text( en ) σ = 60) ~~ 4,8` %.

Los op met de grafische rekenmachine: `text(P)(G < 900 | μ = x text( en ) σ = 65) = 0,05` .

Dit geeft: `μ ~~ 1007` gram.

Los op met de grafische rekenmachine: `text(P)(G > g | μ = 1000 text( en ) σ = 62,5) = 0,03` .

Dit geeft: `g ~~ 1117,5` gram. Dit betekent dat het gewicht van de `3` % zwaarste kerststollen minimaal `1117,5`  gram is.

`1200 * text(P)(T > 60 | μ = 55 text( en ) σ = 4) ~~ 127` auto's.

Los op met de grafische rekenmachine: `text(P)(T < t | μ = 55 text( en ) σ = 4) = 0,03` .

Dit geeft een handelingstijd van minder dan `47,5` seconden.

Los op met de grafische rekenmachine: `text(P)(T > 60 | μ = 55 text( en ) σ = x) = 0,01` .

Dit geeft: `σ ~~ 2,2` seconden.

P(bij één wedstrijd ontstaat een snelheidsverschil van maximaal één sd rondom μ) `=`

`text(P)(text(-)0,205 le X le 0,205 | μ = 0 text( en ) σ = 0,205)`

De gevraagde kans is gelijk aan `text(P)(text(-)0,205 le X le 0,205 | μ = 0 text( en ) σ = 0,205)^5 ~~ 0,148` ofwel `14,8` %.

Een kans van meer dan `14` % is niet heel uitzonderlijk te noemen en dus is er geen reden voor de trainer om te twijfelen aan de juistheid van haar verschilmodel.

Het snelheidsverschil in de laatste wedstrijd bedraagt `0,6` m/s.

P(een snelheidsverschil van minimaal `0,6` m/s) `=`

`text(P)(X le text(-)0,6 text ( of ) X ge 0,6 | μ = 0 text( en ) σ = 0,205 ) =`

`2 * text(P)(X le text(-)0,6 | μ = 0 text( en ) σ = 0,205) ~~ 0,0034` dus ongeveer `0,3` %.

Dit is een heel kleine kans en de trainer zou daardoor mogen twijfelen over de juistheid van haar model, alhoewel deze kans nog steeds groter is dan `0` binnen de gekozen normale verdeling.

Het gaat om de volgende verschillen in snelheid: `0` ; `0,2` ; `text(-)0,2` ; `0` ; `0,1` en `text(-)0,6` . Voer deze lijst op de grafische rekenmachine in.

`bar x ~~ text(-)0,083` en `σ ~~ 0,261`

Conclusies:

• Hardloper B is in deze zes wedstrijden net even iets sneller, want het gemiddelde is negatief.

• De spreiding tussen de zes snelheidsverschillen is groter dan in de gebruikte normale verdeling: er zal vaker een groter snelheidsverschil tussen beide hardlopers plaatsvinden.

P(een snelheidsverschil van minimaal `0,6` m/s) `=`

`text(P)(X le text(-)0,6 text ( of ) X ge 0,6 | μ = text(-)0,083 text( en ) σ = 0,261) =`

`text(P)(X le text(-)0,6 | μ = text(-)0,083 text( en ) σ = 0,261) + P(X ge 0,6 | μ = text(-)0,083 text( en ) σ = 0,261) ~~ 0,0282` dus ongeveer `3` %.

De kans op een groter snelheidsverschil dan `0,6` m/s is met deze waarden dus zo'n tien keer zo groot. Dat zit hem vooral in de kans dat renner B zoveel sneller rent dan A en niet andersom.

Los op met de grafische rekenmachine:

`text(P)( X le text(-)0,6 text( of ) X ge 0,6 | μ = 0 text( en ) σ = x) = 0,04`

ofwel:

`2 * text(P)( X le text(-)0,6 | μ = 0 text( en ) σ = x) = 0,04 `

Dit geeft: `σ ~~ 0,208` .

`μ = 43,6` cm en `σ = 2,7` cm.

Bekijk eventueel het Practicum .

Redelijk goed. Het histogram is redelijk klokvormig.

Als `90` % tussen `μ–a` en `μ+a` ligt dan ligt `10` % daarbuiten.

Dus, vanwege de symmetrie van de normaalkromme: `5` % ligt links van `μ–a` .

Los op met de GR of met Excel: `text(P)(K < μ–a | μ = 43,6 text( en ) σ = 2,7) = 0,05` .

Je vindt `μ-a ≈ 39,2` cm en `a` is ongeveer `43,6 - 39,2 = 4,4` cm

Los met de grafische rekenmachine op:

`text(P)(K > g | μ = 43,6 text( en ) σ = 2,7) = 0,20` of `text(P)(K < g | μ = 43,6 text( en ) σ = 2,7) = 0,80` .

Je vindt: `g≈45,9` cm. Dus minimaal een kniehoogte van `45,9` cm.

Ongeveer `10,9` %.

Ongeveer `51,2` %.

Ongeveer `5,8` %.

Maximaal `153,7` cm, dus maximaal `153` cm.

Minimaal `170,3` , dus minimaal `171` cm.

De normale statistische variabele `Z` is de zwangerschapsduur.

Bij ongeveer `199205 * text(P)( Z < 252 \|\ µ = 280 text( en ) σ = 12,2) ~~ 2164` bevallingen duurde de zwangerschap minder dan `36` weken.

`75` % van de zwangerschapsduren ligt tussen `280 - 14 = 266` dagen en `280 + 14 = 294` .

Los op met de grafische rekenmachine:

`text(P)(266 le Z le 294\|\µ = 280 text( en ) σ = x) = 0,75`

Dit geeft: `σ ≈ 12,17` dagen.

`≈0,0912`

`≈0,9088`

`20,9` gram.

`17,1` gram.

Ongeveer `0,27` %.

Ongeveer `4,3` %.

`144,5` of meer.

`~~ 9,12` %

`~~ 25,25` %

`~~ 0,38`

`~~ 11,09` %

`0,9953` liter

`1,0392` liter