Statistische methoden > Totaalbeeld
1234567Totaalbeeld

Examenopgaven

Opgave 8Antropometrie
Antropometrie

Een ontwerp moet niet alleen mooi, maar ook functioneel zijn. Bij veel ontwerpen wordt daarom rekening gehouden met de maten van het menselijk lichaam. Ontwerpers maken daarom vaak gebruik van antropometrietabellen. Dit zijn tabellen waarin het gemiddelde en de standaardafwijking van allerlei afmetingen van het menselijk lichaam staan. Al deze lichaamsmaten zijn (bij benadering) normaal verdeeld.

a

Bij het inrichten van een optimale werkplek houdt men rekening met de lichaamsmaten. Een bureaustoel heeft precies de goede zithoogte als de zithoogte gelijk is aan de knieholtehoogte van een persoon plus  mm voor de schoenzool. Van een bureaustoel is de zithoogte verstelbaar van tot  mm. De knieholtehoogte is gemiddeld mm met een standaardafwijking van  mm.
Bereken voor hoeveel procent van de mensen deze stoel op precies de goede zithoogte ingesteld kan worden.

Bij bovenstaande vraag is geen onderscheid gemaakt tussen mannen en vrouwen. In werkelijkheid staan in antropometrietabellen de lichaamsmaten voor mannen en vrouwen apart vermeld. Zie bijvoorbeeld de gegevens voor lichaamslengte in mm in tabel 1.

man gemiddeld

man standaardafwijking

vrouw gemiddeld

vrouw standaardafwijking

lichaamslengte in mm

1817

83

1668

67

Vaak maakt men voor een gemengde groep toch gebruik van één normale verdeling. Dit is dan een vrij ruwe benadering. Het gemiddelde en de standaardafwijking van deze normale verdeling berekent men met behulp van de volgende formules:

waarbij

  • het gemiddelde is van de gemengde groep;

  • en het gemiddelde is van de mannen, respectievelijk de vrouwen;

  • de standaardafwijking is van de gemengde groep;

  • en de standaardafwijking is van de mannen, respectievelijk de vrouwen;

  • en het aandeel mannen in de groep en het aandeel vrouwen. Er geldt: .

Een groep bestaat uit % mannen en % vrouwen, dus en . Men kan op twee manieren berekenen hoeveel procent van deze groep langer is dan cm:

  • met behulp van één normale verdeling voor de gemengde groep en de hierboven gegeven formules voor het gemiddelde en de standaardafwijking;

  • zonder gebruik te maken van deze formules, met behulp van de aparte gegevens voor mannen en vrouwen. De uitkomsten van beide berekeningswijzen zullen in het algemeen verschillen.

b

Bereken op beide manieren hoeveel procent van deze groep langer is dan  cm.

Voor sommige lichaamsafmetingen geldt dat het gemiddelde voor mannen en
vrouwen verschillend is, maar de standaardafwijking gelijk. We noemen deze
standaardafwijking s. Er geldt dus: .
In de figuur hieronder zie je een schets van de verdelingskrommen die bij zo’n
situatie horen. De gemengde groep (mannen en vrouwen samen) heeft een
grotere spreiding dan elke groep afzonderlijk. Als je in de figuur de grafiek voor
de gemengde groep zou tekenen, zou deze breder zijn dan de grafieken voor
mannen en vrouwen afzonderlijk. Er geldt dus: .

De formule voor kan dan geschreven worden als:

Ook zonder de figuur, dus alleen aan de hand van de formule voor , kun je met een redenering aantonen dat in dit geval .

c

Geef die redenering.

Voor sommige doeleinden wordt ook onderscheid gemaakt tussen oudere mensen ( jaar en ouder) en jongere mensen ( tot  jaar). Zie de figuur. De TU Delft heeft in 1998 uitgebreid antropometrisch onderzoek gedaan bij oudere mensen. Hierbij is onder andere de vuisthoogte gemeten, zie figuur 3.

De vuisthoogte is van belang voor bijvoorbeeld koffers en tassen op wieltjes. Omdat oudere mensen gemiddeld minder lang zijn dan jongere mensen, verwacht men dat de vuisthoogte van oudere mannen kleiner is dan die van mannen van tot  jaar. De vuisthoogte van mannen van tot  jaar is gemiddeld  mm met een standaardafwijking van mm. Bij een steekproef van  mannen van  jaar en ouder was de gemiddelde vuisthoogte 761 mm. Dit steekproefresultaat ( mm) was ruim voldoende aanleiding om te concluderen dat de vuisthoogte van mannen van  jaar en ouder kleiner is dan die van mannen van tot  jaar.

d

Bereken bij een steekproef van mannen van jaar en ouder tot welke waarde van het steekproefresultaat men deze conclusie nog kan trekken. Neem een significantieniveau van %.

(bron: examen vwo wiskunde A in 2010, tweede tijdvak)

verder | terug