`bar(T)= μ(T) = 0 * 1/3 + 1 * 1/3 + 2 * 1/3 = 1`

`bar(B) = μ(B) = 0 * 1/4 + 1 * 1/4 + 2 * 1/4 + 3 * 1/4 = 1,5`

`bar(T+B) = μ(T + B) = 0 * 1/12 + 1 * 2/12 + 2 * 3/12 + 3 * 3/12 + 4 * 2/12 + 5 * 1/12 = 2,5`

`bar(T) + bar(B) = μ(T) + μ(B) = 1 + 1,5 = 2,5` , dus `bar(T + B) = bar(T) + bar(B)` .

`text(Var)(T) = (0 - 1)^2 * 1/3 + (1 - 1)^2 * 1/3 + (2 - 1)^2 * 1/3 = 2/3`

`sigma(T) = sqrt(text(Var)(T)) = sqrt(2/3)≈ 0,816`

`text(Var)(B) = (0 - 1,5) ^2 * 1/4 + (1 - 1,5)^2 * 1/4 + (2 - 1,5)^2 * 1/4 + (3 - 1,5)^2 * 1/4 = 5/4`

`sigma(B) = sqrt(text(Var)(B)) = sqrt(5/4) ≈ 1,118`

`sqrt(sigma(T)^ 2 + sigma(B)^ 2) = sqrt(text(Var)(T) + text(Var)(B)) = sqrt (2/3 + 5/4) = sqrt(23/12) ≈ 1,384`

`sigma(T + B)` : hiervoor komt de grafische rekenmachine van pas (maar je kunt dit natuurlijk ook zelf berekenen). Voer de zes waarden als lijst in en zo ook de bijbehorende kansen (zij hebben de rol van relatieve frequentie). Laat de statistische berekeningen uitvoeren. Dit geeft: `sigma(T + B) ≈ 1,384` en dat is inderdaad gelijk aan de wortel van de som van de kwadraten van de twee afzonderlijke standaardafwijkingen.

Je kunt er veilig van uitgaan dat deze gewichten, `Ka` en `Ko` , onafhankelijk van elkaar zijn.

Daarom geldt:

`μ(Ka + Ko) = μ (Ka) + μ (Ko) = 25 + 55 = 80` gram.

`σ (Ka + Ko) = sqrt((σ(Ka))^2 + (σ(Ko))^2) = sqrt(1,1^2 + 1,8^2) ~~ 2,11` gram.

Bedenk dat de som van normaal verdeelde statistische variabelen zelf ook een normaal verdeelde statistische variabele is.

Gebruik de net berekende waarden en de grafische rekenmachine:

`P(Ka + Ko < 77,5 | μ = 80 text( en ) σ = 2,11) ~~ 0,1180`

`(σ(S))^2 = (sum_(i=1)^n (S_i - bar(S))^2)/n = (sum_(i=1)^n (S_(vi))^2) /n`
Uit `S_i = A_i + B_i` voor `1 le i le n` en `bar(S) = bar(A) + bar(B)` volgt `S_(vi) = A_(vi)+B_(vi)` .
`(σ(S))^2 = (sum_(i=1)^n (S_(vi))^2)/n = (sum_(i=1)^n (A_(vi)+B_(vi))^2)/n = (sum_(i=1)^n ((A_(vi))^2 + 2A_(vi)B_(vi) + (B_(vi))^2))/n =`
`(sum_(i=1)^n (A_(vi))^2 + sum_(i=1)^n (B_(vi))^2 + 2sum_(i=1)^n (A_(vi)B_(vi)))/n = (sigma(A))^2 + (sigma(B))^2 + 2(sum_(i=1)^n( A_(vi)B_(vi)))/n`

Bekijk alle punten op één verticale lijn `A = A_i` met `1 le i le n` . Die punten hebben alleen een verschillende `B` -coördinaat.
Nu is bekend dat `B` normaal verdeeld is, dus dat er evenveel punten op deze lijn symmetrisch onder de hoogte van het gemiddelde `bar(B)` verdeeld liggen als erboven, ofwel: dat `sum_(i=1)^n (B_i - bar(B)) = 0`
Deze redenering geldt voor elke verticale lijn `A = A_i` met `1 le i le n` .
Hieruit volgt: `sum_(i=1)^n( A_i - bar(A))(B_i - bar(B)) = sum_(i=1)^n( A_i - bar(A))*0 = 0` .

`bar(M) = 20*1,5 = 30`

`sigma(M) = sqrt(20)*1/2 sqrt(5) = 5`

De gemiddelde wachttijd per keer is `30/20 = 1,5` .

De bijbehorende standaardafwijking is `(sigma(X))/(sqrt(20)) = (1/2 sqrt(5))/(sqrt(20)) = 0,25` .

`D` is het nettogewicht in een doos theezakjes. Omdat `D` normaal verdeeld is, geldt dat `bar D = μ(D)` .

`mu(D) = 20 * 1,75 = 36` gram en `σ(D) = sqrt(20) * 0,085 ~~ 0,38` gram.

`Z` is het gemiddelde gewicht van een theezakje.

`barZ` is het gemiddelde gewicht van een theezakje uit één ongeopend doosje.

`mu(barZ) = mu(Z) = mu = 1,75` gram.

`σ(barZ) = (σ(Z))/(sqrt(20)) = (0,085)/(sqrt(20)) ~~ 0,019` gram.

`σ(barZ) = (σ(D))/20 = (0,38)/20 = 0,019` .

De standaardafwijking van het gemiddelde gewicht van een theezakje uit één ongeopend doosje is gelijk aan de standaardafwijking van het gemiddelde nettogewicht in een doosje gedeeld door `20` .

`G` is het nettogewicht van een geopend doosje theezakjes waar er al zes uit zijn. `G` is normaal verdeeld.

`mu(G) = 14 * 1,75 = 24,5` gram.

`σ(G) = sqrt(14) * 0,085 ~~ 0,318` gram.

`Z` is het gemiddelde gewicht van een theezakje.

`barZ` is het gemiddelde gewicht van een theezakje uit één geopend doosje waaruit al zes zakjes gebruikt zijn.

`mu(barZ) = mu(Z) = μ = 1,75` gram

`G` is het nettogewicht van een geopend doosje theezakjes waar er al zes uit zijn.

`σ(barZ) = (σ(G))/14 = (0,318)/14 ~~ 0,023` gram

Gebruik je GR.

De standaardafwijking van een zak aardappelen van `1500`  gram is gelijk aan `80`  gram.

En `σ(C) = sqrt(54^2 + 30^2) ~~ 61,8` gram.

Voer in je GR in: `y_1 = text(binompdf)(1500,80,x)` en `y_1 = text(binompdf)(1500,61.8,x)` met venster bijvoorbeeld `1350 le x le 1750` bij `0 le y le 0,2` .

De statistische variabele `D` is het somgewicht van drie zakken aardappels van elk 500 gram:

`μ(D) = 500 + 500 + 500 = 1500` gram.

`σ(D) = sqrt(30^2 + 30^2 + 30^2) = sqrt(2700)` gram.

Gebruik de grafische rekenmachine:

`text(P)(D > 1450 \|\ μ(D) = 1500 text( en ) σ(D) = sqrt(2700)) ~~ 0,8321` , dit is ongeveer `83` %.

Bij de betreffende supermarkt kun je dus het beste drie zakken aardappelen van `500`  gram kopen: dat geeft de meeste kans op minstens `1450`  gram.

Een bout en een moer passen volgens het voorbeeld als geldt:

`text(P)(0 ≤ V ≤ 0,25 | μ=0,15 text( en ) σ=0,14 ) ~~ 0,6205`

Dit betekent dat de kans op een bout en een moer die niet passen gelijk is aan:

`1 - 0,6205 = 0,3795`

Er geldt dat de bout niet te klein mag zijn: bouten passen nog in een moer als de boutdiameter maximaal `0,25` mm kleiner is dan die van de moer.

Anders gezegd: `B` is `M - 0,25` of groter.

Dus: `V le M - (M - 0,25) = 0,25` .

In het voorbeeld staat dat `V` gelijk is aan `M - B` , het verschil tussen de diameter van een moer en de diameter van een bout.

Als geldt dat `V < 0` dan is `M - B < 0` en dat betekent dat `B` groter is dan `M` .

De normaal verdeelde statistische variabele `B` betreft de diameter van een bout; de normaal verdeelde statistische variabele `M` betreft de diameter van een moer.
De statistische variabele `V = M - B` is ook normaal verdeeld.
`mu(V) = mu(M) - mu(B) = 0,05` mm en `sigma(V) = sqrt((sigma(M))^2 + (sigma(B))^2) ~~ 0,058` .

De bout past als het verschil tussen bout en moer kleiner is dan `0,02` mm.
Maar als het verschil kleiner is dan `0` , dan is de bout te dik.
`1 - text(P)(0 le V lt 0,02 | mu(V) = 0,05 text( en ) sigma(V) = 0,058) ~~ 0,8918` . Dit is ongeveer `89` %.

`text(P)(V < 0 | mu(V) = 0,05 text( en) sigma(V) = 0,058) ~~ 0,1943` en dit is ongeveer `19` %.

`μ(S) = 5 * μ(X) = 5 * 104,3 = 521,5`

`sigma(S) = sqrt5 * sigma(X) = sqrt5 * 3,5 ~~ 7,83`

`μ(bar X_text(in deze 5)) = (μ(S))/5 = (5 * 104,3)/5 = 104,3`

`sigma(bar X_text(in deze 5)) = (sigma(S))/5 = (sqrt5 * sigma(X))/5 = (sigma(X))/(sqrt5) ~~ 1,57`

De statistische variabele `X` is het gewicht van één pak meel en `P` is het gewicht van een pakket van `10` van deze pakken.

`μ(P) = 10* μ(X) = 10 * 1002 = 10020` gram.

`sigma(P) = sqrt10 * sigma(X) = sqrt10 * 4 ~~ 12,65` gram.

`μ(barX) = (μ(P))/10 = (10 * 1002)/ 10 = 1002` gram.

`sigma(barX) = (sigma(P))/10 = (sqrt10 * 4) /10 = 4/sqrt10 ~~ 1,26` gram.

`T` is het gewicht van `100` pakketten op een pallet.

`μ(T) = 100 * μ(P) = 100 * μ(P) = 100 * 10020 = 1002000` gram.

`sigma(T) = sqrt100 * sigma(P) = sqrt 100 * sqrt10 * 4 ~~ 126,49` gram.

`μ(barX_text(pallet)) = (μ(T))/1000 = (1000 * 1002)/ 1000 = 1002` gram.

`sigma(barX_text(pallet)) = (σ(T))/1000 = (sqrt(1000) * 4)/1000 = 4/(sqrt(1000)) ~~ 0,13` gram.

`6*50 = 300` gram.

`sqrt(6)*2,8 ~~ 6,9` gram.

`μ(P+K) = 22` minuten en `σ (P+K) = sqrt(0,8^2 + 1^2)`

Gevraagde kans:

`text(P)(20 < P+K < 21 | μ = 22 text( en ) σ = sqrt(0,8^2 + 1^2) ) ~~ 0,1583`

`μ(P-K) = 11,5 - 10,5 = 1` minuut en `σ(P-K) = sqrt(0,8^2 + 1^2)` .

`text(P)(P-K > 1 | μ = 1 text( en ) σ = sqrt(0,8^2 + 1^2) ) = 0,5`

`L = Y + K` .

`μ(L) = μ (Y+K) = μ (Y) + μ (K) = 10 + 30 = 40` meter.

`σ(L) = sqrt((σ(Y))^2 + (σ(K))^2) = sqrt(9^2 + 13^2) ~~ 15,8` cm.

`text(P)(L < 39 \|\ μ = 40 text( en ) σ = 0,158) ~~ 0,0000000001`

`H` is de hoogte van één doos en is een normaal verdeelde kansvariabele met `μ(H)=10` en `σ(H)=0,4` cm.

Van `15` dozen is de totale hoogte `D` en: `μ(D) = 150` en `σ(D) = sqrt(15)*0,4 ≈ 1,55` cm.

`T` is de hoogte van `25` dozen op elkaar.

`σ(T)` mag maximaal `1,9` cm zijn om in de vrachtwagen te passen.

Er geldt `sqrt(25)*σ(H) ≤ 1,9` , zodat `σ(H) ≤ 0,38` cm.

Nee, want de standaardafwijking van een doos is `4` mm en dat is meer dan de in b berekende `0,38` cm.

De toevalsvariabele `A` is het gewicht van een bakje aardbeien.
`μ(A) = 300` en `sigma(A) = 10` .

De toevalsvariabele `B` is het gewicht van twee bakjes bramen.
`μ(B) = 2*200 = 400` en `sigma(B) = sqrt(2)*8 ~~ 11,3` .

De toevalsvariabele `F` is het gewicht van drie bakjes frambozen.
`μ(F) = 3*100 = 300` en `sigma(F) = sqrt(3)*5 ~~ 8,7` .

De toevalsvariabele `T` is het gewicht van al het fruit dat Els koopt.
`μ(T) = μ(A) + μ(B) + μ(F) = 300 + 400 + 300 = 1000` gram.
`sigma(T) = sigma(A + B + F) = sqrt((sigma(A))^2 + (sigma(B))^2 + (sigma(F))^2) = sqrt(10^2 + 11,3^2 + 8,7^2)~~17,4` gram.

De kansvariabele `S` is het gewicht van een pak suiker.
`μ(S) = 1000` gram en `sigma(S) = 12` gram

De kansvariabele `V` is het verschil tussen het gewicht van het fruit en van de suiker: `V=T-S` . Zoek nu uit hoe groot de kans is dat dit verschil positief is, want dan is er meer fruit dan suiker.

`μ(V) = μ(T) - μ(S) = 1000 - 1000 = 0`

Bedenk dat dit het verschil is tussen twee kansvariabelen met een verschilgemiddelde van `0`  gram en dat je de kans wilt weten wanneer dit verschil kleiner is dan `0` . Bedenk dan dat je de kans wilt weten wanneer de verschilvariabele kleiner is dan zijn gemiddelde en dat is per definitie een kans van exact `50` %.

Mocht je hier niet opkomen, bereken dan de kans.

`sigma(V) = sigma(T-S) = sqrt((sigma(T))^2 + (sigma(S))^2) = sqrt(17,4^2 + 12^2) ~~ 21,1`

`P(V < 0 | μ = 0 text( en ) σ = 21,1) ~~ 0,500` ofwel `50` %.

De statistische variabele `T` is het totale gewicht van `10` pakken; het is een normaal verdeelde statistische variabele. Gebruik de wortel-n-wet:
`mu(T) = 10 * mu = 10020` gram.
`sigma(T) = sqrt (10) * sigma ~~ 9,5` .

`P(T > 10000 | mu(T) = 10020 text( en ) sigma(T) = sqrt(10)*3) ~~ 0,9825`

Met de afgeronde standaardafwijking krijg je:

`P(T > 10000 | mu(T) = 10020 text( en ) sigma(T) = 9,5) ~~ 0,9824`

`mu(bar T) = (mu(T))/10 = 1002` gram.

`sigma(bar T) = (sigma)/(sqrt(10)) ~~ 0,95` gram.

`P(bar T > 1000 | mu(bar T) = 1002 text( en ) sigma(bar T) = 3/(sqrt(10))) ~~ 0,9825`

Met de afgeronde standaardafwijking krijg je:

`P(bar T > 1000 | mu(bar T) = 1002 text( en ) sigma(bar T) = 0,95) ~~ 0,9824`

Bereken in Excel eerst:

• gemiddelde jongenslengte `~~ 180,4` cm met `σ ~~ 7,88` cm.

• gemiddelde meisjeslengte `~~ 168,8` cm met `σ ~~ 7,08` cm.

Controleer vervolgens de vuistregels van de normale verdeling:

Heel grof bekeken zou je de beide kansverdelingen bij benadering normaal verdeeld kunnen noemen.

`text(P)(J > 168,8 | μ = 180,4 text( en ) σ = 7,88) ~~ 0,9295` en dat is ongeveer `93` % van de jongens.

Als geldt `V = J - M` dan is `μ(V) = 180,4 - 168,8 = 11,6` cm en `σ(V) = sqrt(7,88^2 + 7,08^2)` .

`text(P)(V > 0 | μ = 11,6 text( en ) σ = sqrt(7,88^2 + 7,08^2) ) ~~ 0,8632 ` .

De statistische variabele `A` is het aantal preiplanten dat opkomt per zakje zaad.

`μ(A) = 20` en `sigma(A) = 3,2`

De statistische variabele `D` is het aantal preiplanten dat opkomt per doosje.

`μ(D) = 10*20 = 200` preiplanten en `sigma(D) = sqrt(10)*3,2 ~~ 10,1` .

De statistische variabele `A` is het aantal preiplanten dat opkomt.

`μ(D) = 200` en `sigma(D) ~~ 10,1`

`μ(D_3) = 3*200 = 600` preiplanten en `sigma(D_3) ~~ sqrt(3)*10,1 ~~ 17,5` .

`P(D_3 < 580 \|\ μ = 600 text( en ) σ = 17,5) ~~ 0,127` ofwel `12,7` %.

Er moet gelden: `P(D_3 < 580 \|\ μ = x text( en ) σ = 17,5) < 0,01`

Dit geeft: `x~~621` .

Dus het gemiddelde van drie dozen moet `621` worden. Het gemiddelde per zakje wordt dan: `621/30 ~~ 21` .

In ongeveer `24` % van de gevallen.

`1003,2` mL.