Statistische methoden > De wortel-n-wetUitleg
|
||||||||||
|
Een reiziger gaat heen met de tram en terug met de bus. Op de tram hoeft hij maximaal twee minuten te wachten en op de bus terug maximaal drie minuten. Ga ervan uit dat de wachttijd voor de tram onafhankelijk is van de wachttijd voor de bus.
Voor de wachttijden, in hele minuten, van deze reiziger op de tram ( `T` ) en de bus ( `B` ) gelden de kansverdelingen hiernaast.
Bij de totale wachttijd past deze kansverdeling:
| `t+b` | `0` | `1` | `2` | `3` | `4` | `5` |
| `text(P)(T+B = t+b)` | `1/12` | `2/12` | `3/12` | `3/12` | `2/12` | `1/12` |
Voor het gemiddelde (de verwachting) geldt:
`bar T = 1`
,
`bar B = 1,5`
en
`bar (T+B) = 2,5`
.
Je kunt de gemiddelden optellen.
Maar standaardafwijkingen kun je niet zomaar optellen. Dat komt omdat de standaardafwijking de wortel is uit opgetelde kwadraten van afwijkingen. En kwadraten kun je wel optellen, maar als je dan worteltrekt dan krijg je de wortel uit die kwadraten die je hebt opgeteld.
Omdat
`(σ(T+B))^2 = (σ(T))^2 + (σ(B))^2`
geldt voor de standaardafwijking:
`σ(T+B) = sqrt((σ(T))^2 + (σ(B))^2)`
Deze optelregels gelden voor zowel discrete als continue variabelen, mits de variabelen onafhankelijk zijn.
Bekijk de kansverdelingen in
Bereken handmatig de verwachtingswaarden van `T` , `B` en `T+B` en ga na dat `bar (T+B) = bar T + bar B` .
Bereken handmatig de standaardafwijkingen van `T` , `B` en `T+B` en ga na dat `σ(T+B) = sqrt((σ(T))^2 + (σ(B))^2)` .
Een karamelreep en een kokosreep worden als duo verkocht.
Het gemiddelde gewicht van de karamelreep is
`25`
gram met een standaardafwijking van
`1,1`
gram. Het gemiddelde gewicht van de kokosreep is
`55`
gram met een standaardafwijking van
`1,8`
gram.
Hoeveel bedraagt het gemiddelde gewicht van de twee repen samen? En welke standaardafwijking hoort daarbij?
Hoe groot is de kans dat de twee repen samen minder dan `77,5` gram wegen?
Bekijk in
De formule voor de standaardafwijking is: `σ(X) = sqrt( (sum_(i=1)^n (x_i - bar(x))^2) /n)` .
Hierin zijn `x_i` met `i = 1, 2, ..., n` de waarnemingen.
Noem voor het gemak het verschil tussen een meetgegeven en het gemiddelde van die meetgegevens `x_(vi) = x_i -bar(x)` .
Toon met de formule voor de standaardafwijking aan dat: `(sigma(S))^2 = (sigma(A))^2 + (sigma(B))^2 + 2(sum_(i=1)^n( A_(vi)B_(vi))) /n` .
Je moet nu nog aantonen dat `sum_(i=1)^n( A_(vi)B_(vi)) = sum_(i=1)^n( A_i - bar(A))(B_i - bar(B)) = 0` .
Beschouw `(A_i, B_i)` voor `1 le i le n` als een puntenwolk in een assenstelsel met `A` als horizontale as en `B` als verticale as rondom het punt `(bar(A), bar(B))` . Bedenk dat het bij berekeningen van een normale verdeling om grote groepen waarnemingen gaat. De waarde van `n` is heel groot, het gaat om heel veel punten.
Leg met deze puntenwolk uit dat `sum_(i=1)^n( A_i - bar(A))(B_i - bar(B)) = 0` .