Een machine kan de basisbewerkingen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen uitvoeren. En daarmee ook machten als `x^5 = x*x*x*x*x` en `x^(text(-)5) = 1/(x*x*x*x*x)` .
Maar met machten met gebroken exponenten ligt dit al meteen heel anders.
En dan heb je nog uitdrukkingen als
`2^x`
,
`\ ^2log(x)`
,
`text(e)^x`
,
`ln(x)`
,
`sin(x)`
,
`cos(x)`
etc.
Nu bestaat er een stelling waarmee dergelijke functies willekeurig nauwkeurig kunnen worden benaderd door de som van oplopende machten. Veronderstel eens dat dit kan voor dergelijke functies `f` , dus dat:
`f(x) = c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3 + ...`
Zoiets heet een machtreeks met constanten
`c_0`
,
`c_1`
,
`c_2`
,
`c_3`
, etc.
Maar hoe zien die constanten er dan uit?
Welnu, differentiëren helpt...
`f'(x) = c_1 + 2c_2 x + 3c_3 x^2 + 4c_4 x^3 + 5c_5 x^4 + ...`
En dit steeds weer differentiëren geeft
Tweede afgeleide: `f''(x) = 2c_2 + 6c_3 x + 12c_4 x^2 + 20c_5 x^3 + ...`
Derde afgeleide: `f^((3))(x) = 6c_3 + 24c_4 x + 60c_5 x^2 + ...`
Vul je hier `x = 0` in, dan vind je `c_0 = f(0)` , `c_1 = f'(0)` , `c_2 = (f''(0))/2` , `c_3 = (f^((3))(0))/6` , etc.
Als je dus aanneemt dat zo’n functie `f` voor `x=0` oneindig vaak is te differentiëren (wat heel vaak het geval is, maar niet altijd), dan geldt
`f(x) = f(0) + f'(0) x + (f''(0))/2 x^2 + (f^((3))(0))/(2*3) x^3 + (f^((4))(0))/(2*3*4) x^4 + (f^((5))(0))/(2*3*4*5) x^5 + ...`
Dit schrijf je korter als
`f(x) = f(0) + f'(0) x + (f''(0))/(2!) x^2 + (f^((3))(0))/(3!) x^3 + (f^((4))(0))/(4!) x^4 + (f^((5))(0))/(5!) x^5 + ... + (f^((n))(0))/(n!) x^n + ...`
waarin `n! = 1*2*3*4*...*n` en `f^((n))(x)` de `n` de afgeleide van `f` is.
Dit is een eenvoudige versie van de stelling van Taylor (Brook Taylor, 1685 - 1731). Deze machtreeks is een "Taylorbenadering" van `f(x)` . Nu eerst even kijken wat dit betekent.
Neem de functie `f(x) = 2^x` .
Bereken `f'(x)` , `f''(x)` , `f^((3)) (x)` , enz...
Welke formule kun je afleiden voor `f^((n)) (x)` ?
Bekijk de machtreeks in de
Bereken `f'(0)` , `f''(0)` , `f^((3)) (0)` , enz...
Welke benadering voor `f(x) = 2^x` kun je maken als je de machtreeks invult tot en met de zesde term?
Vergelijk met je grafische rekenmachine de grafiek van `f(x) = 2^x` met die van de benadering die je bij d hebt gevonden. Hoe goed is de benadering? Hoe kun je hem verbeteren?
Neem de functie `f(x) = 1/x` .
Bereken `f'(x)` , `f''(x)` , `f^((3)) (x)` , enz...
Welke formule kun je afleiden voor `f^((n)) (x)` ?
Waarom kun je geen Taylor benadering maken voor deze functie?
Waarom is dat voor je rekenmachine ook niet nodig?