Wiskunde en rekenmachines > Taylor benaderingen
123456Taylor benaderingen

Toepassen

Opgave 12Arcsinus
Arcsinus

De terugrekenfunctie van `y = sin(x)` heet `y = arcsin(x)` .

De afgeleide van `y(x) = arcsin(x)` is `y'(x) = 1/(sqrt(1 - x^2))` .

a

Laat zien, hoe je deze afgeleide van `arcsin(x)` zelf kunt afleiden.

b

Maak een Taylorbenadering voor `y(x)=arcsin(x)` van vier termen.

Je weet dat `sin(1/6 pi) = 0,5` , dus `1/6 pi = arcsin(0,5)` .

c

Geef hiermee een benadering voor het getal `pi` .

Opgave 13Taylorbenadering niet rond x=0
Taylorbenadering niet rond `x=0`

Voor de Taylorbenadering van `f(x) = text(e)^x` rond `x = 0` geldt:

`text(e)^x ~~ 1 + x + 1/2 x^2 + 1/6 x^3 + 1/24 x^4 + ...`

a

Laat zien, dat je hiermee de waarde van `text(e)^2` maar langzaam benadert.

In het algemeen geldt voor de Taylorbenadering rond `x=a` :

`f(x) = f(a) + f'(a) (x-a) + (f''(a))/(2!) (x-a)^2 + (f^((3))(a))/(3!) (x-a)^3 + (f^((4))(a))/(4!) (x-a)^4 + ...` `+ (f^((n))(a))/(n!) (x-a)^n + ...`

b

Maak een Taylorbenadering voor `f(x) = text(e)^x` rond `x = 2` .

c

Bereken nu zowel met de Taylorbenadering rond `x = 0` als die rond `x = 2` de waarde van `text(e)^(2,1)` .

verder | terug