De terugrekenfunctie van `y = sin(x)` heet `y = arcsin(x)` .
De afgeleide van `y(x) = arcsin(x)` is `y'(x) = 1/(sqrt(1 - x^2))` .
Laat zien, hoe je deze afgeleide van `arcsin(x)` zelf kunt afleiden.
Maak een Taylorbenadering voor `y(x)=arcsin(x)` van vier termen.
Je weet dat `sin(1/6 pi) = 0,5` , dus `1/6 pi = arcsin(0,5)` .
Geef hiermee een benadering voor het getal `pi` .
Voor de Taylorbenadering van `f(x) = text(e)^x` rond `x = 0` geldt:
`text(e)^x ~~ 1 + x + 1/2 x^2 + 1/6 x^3 + 1/24 x^4 + ...`
Laat zien, dat je hiermee de waarde van `text(e)^2` maar langzaam benadert.
In het algemeen geldt voor de Taylorbenadering rond `x=a` :
`f(x) = f(a) + f'(a) (x-a) + (f''(a))/(2!) (x-a)^2 + (f^((3))(a))/(3!) (x-a)^3 + (f^((4))(a))/(4!) (x-a)^4 + ...` `+ (f^((n))(a))/(n!) (x-a)^n + ...`
Maak een Taylorbenadering voor `f(x) = text(e)^x` rond `x = 2` .
Bereken nu zowel met de Taylorbenadering rond `x = 0` als die rond `x = 2` de waarde van `text(e)^(2,1)` .