Wiskunde en rekenmachines > Nulpunten, snijpunten
123456Nulpunten, snijpunten

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Tussen `x = 1` en `x = 2` .

b

Tussen `x = 1,6` en `x = 1,7` .

c

Tussen `x = 1,63` en `x = 1,64` .

d

Tot vier decimalen.

e

`x ~~ 1,634`

Opgave 1

Werk zoals in de Uitleg 1. Je vindt als het goed is weer `x ≈ 1,634` .

Opgave 2

Los op `v(x) = f(x)-g(x) = 4-x-x^2 = 0` .
Nulpunt in `[1, 2]` dus `x = (1+2)/2 = 1,5` en `v(1)*v(1,5) gt 0` en `v(1,5)*v(2) lt 0` .
Nulpunt in `[1,5; 2]` dus `x = (1,5+2)/2 = 1,75` en `v(1,5)*v(1,75) lt 0` .
Nulpunt in `[1,5; 1,75]` dus `x = (1,5+2)/2 = 1,625` en `v(1,5)*v(1,625) lt 0` .
Nulpunt in `[1,5; 1,625]` dus `x = 1,5625` en `v(1,5)*v(1,5625) lt 0` .
Etcetera.
Je vindt `x ≈ 1,56155` .

Opgave 3

Je moet ook op de GR het zoekgebied inklemmen: linkergrens en rechtergrens instellen.

Opgave 4

Gebruik `y_1 (x) = x^3 + x - 6` en `y_2 (x) = 3x^2 + 1` .
Werk zoals in de GR-figuren in de uitleg staat: `x ≈ 1,63436` .

Opgave 5

Neem `y_1 = 6 - 2sqrt(x-3)` en de afgeleide `y_2 = (text(-)1)/(sqrt(x-3))` en loop `x_(n+1) = x_n - (y_1 (x_n))/(y_2 (x_n))` na.
Begin b.v. met `x_0 = 10` .
Je krijgt `x ≈ 12,00000000` al na vier stappen.
De exacte uitkomst `x = 12` vind je natuurlijk algebraïsch.

Opgave 6

`x^4 - 4x = 12 + x` geeft `x^4 - 5x - 12 = 0` .

Neem `y_1 = x^4 - 5x - 12` en de afgeleide `y_2 = 4x^3 - 5` en loop `x_(n+1) = x_n-(y_1 (x_n))/(y_2 (x_n))` na.
Begin b.v. met `x_0 = 2` voor het rechter snijpunt (nulpunt van `y_1` ).
Je vindt al na drie stappen `x ≈ 2,188578` .
Voor het linker snijpunt start je b.v. met `x_0 = text(-)2` . En je vindt: `x ≈ text(-)1,46889` .

Opgave 7

Ga na dat je dezelfde antwoorden krijgt als in het voorbeeld.

Opgave 8

Nulpunt bepalen van `y_1 = x^3 - 17` .

Halveringsmethode:
in `[2, 3]` : `x = 2,5` en `y_1 (2,5)*y_1 (3) lt 0`
in `[2,5; 3]` : `x = 2,75` en `y_1 (2,5)*y_1 (2,75) lt 0`
in `[2,5; 2,75]` : `x = 2,625` en `y_1 (2,5)*y_1 (2,625) lt 0`
in `[2,5; 2,625]` : `x = 2,5625` en `y_1 (2,5625)*y_1 (2,625) lt 0`
etc.
Je vindt `x ≈ 2,5712` .

De N-R-methode:
Neem `y_1 = x^3 - 17` en de afgeleide `y_2 = 3x^2` en loop `x_(n+1) = x_n - (y_1 (x_n))/(y_2 (x_n))` na.
Start met b.v. `x_0 = 3` en je vindt: `x ≈ 2,5712` .

Opgave 9
a

Maak eerst de grafiek van `f` met je GR en schat een goede interval waar het snijpunt binnen moet liggen.

Maak tabellen met steeds meer decimalen en je vindt `x ~~ 1,49612` .

b

Neem als startinterval bijvoorbeeld `[1, 2]` en pas de methode toe.

Je vindt weer `x ~~ 1,49612` .

c

Voer in je GR in `y_1 = x^5 - x - 6` en de afgeleide `y_2 = 5x^4 - 1` en loop `x_(n+1) = x_n - (y_1 (x_n))/(y_2 (x_n))` na.

Je vindt weer `x ~~ 1,49612` .

d

De N-R-methode is het snelst.

Opgave 10
a

Neem `y_1 = x^2 - 3` en `y_2 = 2x` en de N-R-methode geeft `x ≈ 1,73205` .

b

Taylorbenadering: `sqrt(x+1) = 1 + 1/2 x - 1/8 x^2 + 3/16 x^3 - 5/128 x^4 + 7/256 x^5 - ...` .
Door `x = 2` invullen valt `sqrt(3)` echter niet te benaderen, want deze Taylorbenadering nadert niet naar een bepaalde waarde.

Opgave 11
a

`y_1 = 4 - x - x^3` en `y_2 = text(-)1 - 3x^2` geeft met de N-R-methode: `x ≈ 1,378797` .

De halveringsmethode met begin het interval `[1, 2]` kan ook.

b

`y_1 = cos(x) - x` en `y_2 = text(-)sin(x) - 1` geeft met de N-R-methode: `x ≈ 0,739085` .

c

`y_1 = text(e)^(2x) + 4x - 8` en `y_2 = 2text(e)^(2x) + 4` geeft met de N-R-methode: `x ≈ 0,788908` .

Opgave 12

`y_1 = x^4 - 4x - 6` en afgeleide `y_2 = 4 x^3 - 4` geeft met de N-R-methode: `x ~~ text(-)1,114412` en `x ~~ 1,923708` .

Opgave 13Benaderen met behulp van een webgrafiek
Benaderen met behulp van een webgrafiek
a

Je zou zoiets moeten krijgen:

b

`x ≈ 0,8177`

c

Nu maak je `x = 6-x^3` en dus moet je de webgrafiek bij de rij `u(n)=6 - (u(n-1))^3` maken.
Je ziet dan de waarden steeds verder weglopen van het punt waar de grafiek van de rij en de lijn `y=x` elkaar snijden.

d

De helling van `y_1 = x` is `1` .

Omdat de helling van `y_2 = 6 - x^3` in het snijpunt met `y_1` kleiner is dan `text(-)1` loopt de grafiek van `y_2` daar in de buurt zo steil naar beneden dat de `y` -waarden steeds verder van die van het snijpunt af komen te liggen.

Opgave 14

Je krijgt `x ~~ 2,46784` .

verder | terug