Een snellere methode voor het benaderen van een nulpunt van een functie is de iteratiemethode van Newton-Raphson. Daarbij wordt gewerkt met raaklijnen aan de grafiek van de functie waarvan je het nulpunt wilt bepalen.
Voor het bepalen van het nulpunt van `f(x)=x^3+x-6` ga je zo te werk:
`f'(x) = 3x^2 + 1`
Neem bijvoorbeeld
`x = 1`
als eerste schatting van je nulpunt.
Dan is
`f'(1) = 4`
en
`f(1) = text(-)4`
.
De vergelijking van de raaklijn in
`(1, text(-)4)`
is
`y = 4x - 8`
.
Deze raaklijn snijdt de
`x`
-as in
`(2, 0)`
.
Dan is
`x = 2`
de tweede schatting van het nulpunt.
`f'(2) = 13`
en
`f(2) = 4`
geeft als raaklijn
`y = 13x - 22`
.
Deze raaklijn snijdt de
`x`
-as in
`(22/13, 0)`
.
Derde schatting is
`x = 22/13`
.
`f'(22/13) = 1621/169`
en
`f(22/13) = 1184/2197`
geeft als raaklijn
`y = 1621/169 x-34478/2197`
.
Deze raaklijn snijdt de
`x`
-as in
`(1,636122052; 0)`
.
Vierde schatting is
`x = 1,636122052`
.
Enzovoort.
Neem aan dat `x_n` je `n` de schatting is en `x_(n+1)` de volgende schatting is. In de figuur zie je dat dan geldt:
`f'(x_n) = (f(x_n))/(x_n - x_(n+1))`
Hieruit volgt: `x_(n+1) = x_n-(f(x_n))/(f'(x_n))` .
Deze formule stelt je in staat om de beschreven procedure snel uit te voeren:
`x_1 = x_0 - f(x_0)/(f'(x_0)) = 1 - (text(-)4)/4 = 2`
`x_2 = x_1 - f(x_1)/(f'(x_1)) = 2 - 4/13 = 1 9/13 = 1,6923...`
`x_3 = x_2 - f(x_2)/(f'(x_2)) = 1 9/13 - (1184/2197)/(1621/169) = 1,6361...`
enzovoorts.
Reken steeds verder met breuken of met alle decimalen die je rekenmachine toelaat. Hier zie je hoe je dit snel met de GR doet.
|
|
Bekijk de
Benader met de methode van Newton-Raphson het nulpunt van de functie `f(x) = 6 - 2sqrt(x-3)` in vijf decimalen nauwkeurig.
Benader met de methode van Newton-Raphson de oplossing van de vergelijking `x^4 - 4x = 12 + x` in vier decimalen nauwkeurig.