Wiskunde en rekenmachines > Integralen benaderenVoorbeeld 1
De functie
`f(x) = ln(5-x^2)`
kun je niet primitiveren.
Je ziet hier de grafiek van
`f`
en de integraal op het interval
`[text(-)2, 2]`
.
Benader deze integraal. Gebruik eerst de trapeziummethode en daarna de methode van
Simpson.
Maak vier deelintervallen.
Met de trapeziummethode:
De breedte van elk deelinterval is
`(2-text(-)2)/4 = 1`
.
De benadering wordt dan
`1*((f(text(-)2)+f(2))/2+f(text(-)1)+f(0)+f(1)) = ln(4)+ln(5)+ln(4) ~~ 4,38203`
.
Dat zit er nogal wat naast, maar als je de trapezia tekent zie je ook meteen dat de
oppervlakte ervan te klein is. Er moeten meer trapezia worden gemaakt om een enigszins
betrouwbaar antwoord te krijgen.
Met de regel van Simpson:
De benadering voor het eerste deelinterval is
`(text(-)1-text(-)2)/6 * (f(text(-)2) + 4 * f(text(-)1,5) + f(text(-)1))=1/6 (0 + 4
ln(2,75) + ln(4)) ~~ 0,90545`
.
De benadering voor het tweede deelinterval is
`(0-text(-)1)/6 * (f(text(-)1) + 4 * f(text(-)0,5) + f(0)) = 1/6 (ln(4) + 4 ln(4,75)
+ ln(5)) ~~ 1,53805`
.
De andere twee deelintervallen hebben dezelfde oppervlakte vanwege de symmetrie van
de grafiek.
De integraal wordt nu ongeveer
`4,88700`
.
Deze benadering is al meteen veel beter.
Bekijk
Voer de trapeziummethode nog eens uit, maar nu met acht deelintervallen. Laat zien, dat je benadering beter wordt.
Voer ook de methode van Simpson nog eens uit met acht deelintervallen.
Gegeven is de functie `f(x) = sqrt(4-x^2)` .
Waarom is de oppervlakte onder deze grafiek gelijk aan `2pi` ?
Benader deze oppervlakte met de methode van Simpson met acht deelintervallen.