Wiskunde en rekenmachines > Integralen benaderenUitleg
Integralen kun je benaderen met behulp van Riemannsommen zoals:
`int_a^b f(x) text(d)x = lim_(n rarr oo) sum_(i=1)^n f(x_i)*Delta x`
waarbij je `[a, b]` in `n` even brede deelintervallen verdeelt. Je werkt daarbij met een bovensom (grootste functiewaarden op elk interval) en een ondersom (kleinste functiewaarden per interval) en dan kijken of die op hetzelfde uitkomen. Meestal moet je dan voor `n` hele grote waarden nemen en kost dit veel rekentijd.
Daarom worden meestal andere benaderingsmethoden gebruikt.
Eén daar van is de "trapeziummethode" .
Hierbij verdeel je het interval
`[a, b]`
in
`n`
even brede deelintervallen, waarvan je door het tekenen van trapezia de oppervlakte
schat, zie figuur.
De oppervlakte van het trapezium dat bij zo’n deelinterval hoort is steeds
`(b-a)/n*((f(a+k*(b-a)/n)+f(a+(k+1)*(b-a)/n))/2)`
Deze oppervlaktes moet je optellen vanaf
`k=0`
tot en met
`k=n`
.
Dat kun je schrijven als:
`sum_(k=0)^n (b-a)/n*((f(a+k*(b-a)/n)+f(a+(k+1)*(b-a)/n))/2)`
En vervolgens kun je dit herleiden tot:
`(b-a)/n*((f(a)+f(b))/2 + sum_(k=1)^(n-1) f(a+k*(b-a)/n))`
Als de functiewaarden niet te veel variëren op elk deelinterval krijg je zo een goede
benadering van de integraal:
`int_a^b f(x) text(d)x ~~ (b-a)/n*((f(a)+f(b))/2 + sum_(k=1)^(n-1) f(a+k*(b-a)/n))`
Bekijk de trapeziummethode om een integraal te benaderen.
Waarom heet deze methode zo?
Hoe kom je aan de oppervlakte van het trapezium op elk van de even brede deelintervallen?
Leid zelf de benaderingsformule van de trapeziummethode af.
Benader `int_0^4 x^2 text(d)x` met behulp van vier gelijke deelintervallen en de trapeziummethode. Waarom zal je benadering in dit geval aan de hoge kant zijn?
Benader `int_0^4 x^2 text(d)x` met behulp van acht gelijke deelintervallen en de trapeziummethode.
Waarom mogen om de trapeziummethode te kunnen gebruiken de functiewaarden niet te sterk variëren op de deelintervallen?