Wiskunde en rekenmachines > Integralen benaderenUitleg
Een nog betere benaderingsmethode is de methode van Simpson. Daarbij is de variatie
van de functiewaarden op een deelinterval al iets minder belangrijk.
De functie wordt op elk deelinterval
`[a, b]`
benaderd door een kwadratische functie door de punten
`(a,f(a)), (b,f(b))`
en
`((a+b)/2, f((a+b)/2))`
.
Door voor die kwadratische functie een voorschrift op te stellen en de integraal van
die kwadratische functie uit te rekenen, vind je als benadering:
`int_a^b f(x) text(d)x ≈ (b-a)/6*(f(a)+4*f((a+b)/2)+f(b))`
En net zoals je bij de trapeziummethode gelijke deelintervallen maakt en daarop de oppervlakte van het bijbehorende trapezium berekent (die je dan allemaal bij elkaar optelt), kun je bij de regel van Simpson vaak beter ook deelintervallen maken. Op elk deelinterval pas je dan de bovenstaande benaderingsformule toe.
Bekijk nog eens de integraal `int_0^4 x^2 text(d)x` . Je kunt hier de benaderingsmethode van Simpson gebruiken met maar één deelinterval.
Waarom is het wat merkwaardig om hier de benaderingsmethode van Simpson te gebruiken?
Ga na, dat die methode het correcte antwoord geeft.
Bekijk de integraal `int_0^4 x^3 text(d)x` .
Bereken deze integraal exact.
Benader deze integraal met de methode van Simpson met één deelinterval. Kan je antwoord nu precies correct zijn?
Bekijk de integraal `int_0^2 x^4 text(d)x` .
Bereken deze integraal exact. Benader hem daarna met de methode van Simpson met één deelinterval.
Benader deze integraal met de methode van Simpson op vier gelijke deelintervallen. Zit je al dicht bij het werkelijke antwoord?
Vergelijk dit met een benadering op vier gelijke deelintervallen met de trapeziummethode. Welke methode is beter?
Vergelijk tenslotte nog eens met Riemannsommen met vier deelintervallen.
De echte uitdaging is natuurlijk het afleiden van de benaderingsformule van Simpson...