Wiskunde en rekenmachines

Wiskunde en rekenmachines > Integralen benaderen

Overzicht

123456Integralen benaderen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

`int_0^4 x^2 text(d)x = [1/3 x^3]_0^4 = 64/3`

Je vindt `21,333333` .

Eerst de ondersom: `0,4*0^2 + 0,4*0,4^2 + 0,4*0,8^2 + 0,4*1,2^2 + ... + 0,4*3,6^2 = 18,24` .

Dan de bovensom: `0,4*0,4^2 + 0,4*0,8^2 + 0,4*1,2^2 + ... + 0,4*3,6^2 + 0,4*4^2 = 24,64` .

En daar dus ergens tussenin.

Riemannsommen zijn veel te bewerkelijk om snel een goede benadering te vinden, je hebt pas wat als ondersom en bovensom erg dicht bij elkaar in de buurt zitten en daarvoor heb je veel deelintervallen nodig.

Opgave 1

Je maakt op elk deelinterval een trapezium m.b.v. de functiewaarden van het begin en van het eind van dit interval.

Op `[a, b]` heb je `n` deelintervallen die dus elk een “hoogte” hebben van `(b-a)/n` .
Van het bijbehorende trapezium met nummer `k` hebben de evenwijdige zijden de lengtes `f(a+(k+1)*(b-a)/n)` en `f(a+k*(b-a)/n)` .
De oppervlakte van elk trapezium is daarom `(b-a)/n*(f(a+k*(b-a)/n) + f(a+(k+1)*(b-a)/n)/2)` .

Je moet daarvoor de zaak helemaal uitschrijven:
`sum_(k=0)^n (b-a)/n*((f(a+k*(b-a)/n)+f(a+(k+1)*(b-a)/n))/2) =`
`= (b-a)/n*((f(a) + f(a+*(b-a)/n))/2 + (f(a+*(b-a)/n) + f(a+2*(b-a)/n))/2 + ... + (f(a+(n-1)*(b-a)/n) + f(b))/2) =`
`= (b-a)/n*((f(a) + f(b))/2 + sum_(k=1)^(n-1) f(a+k*(b-a)/n) )`

Bij vier gelijke deelintervallen is `(b-a)/n = 1` .
De benadering wordt dan `≈ 1*((0^2+4^2)/2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 ) = 22` .

Bij acht gelijke deelintervallen is `(b-a)/n=0,5` .
De benadering wordt dan `≈0,5*((0^2+4^2)/2+0,5^2+1^2+...+3,5^2 )=21,5` .

Opgave 2

Omdat dan de oppervlakte van een trapezium geen goede benadering is van de werkelijke oppervlakte onder de grafiek op een deelinterval.

Opgave 3

De gegeven functie `y = x^2` is zelf al een parabool.
Hij zal derhalve door zichzelf worden benaderd.

De regel van Simpson geeft: `(4-0)/6*(0 + 4*2^2 + 4^2) = 64/3` .
En dat komt overeen met het exacte antwoord dat je eerder hebt gevonden, of zelf door primitiveren kunt vinden.

Opgave 4

`int_0^4 x^3 text(d)x = [1/4 x^4]_0^4 = 64`

De regel van Simpson geeft nu: `(4-0)/6*(0 + 4*2^3 + 4^3) = 64` . Dat is al meteen het juiste antwoord.

`int_0^2 x^4 text(d)x = [1/5 x^5]_0^4 = 6,4`

De regel van Simson geeft nu: `(2-0)/6*(0 + 4*1^4 + 2^4) = 6 2/3` .

Maak je twee gelijke deelintervallen, dan krijg je met de regel van Simpson: `(1-0)/6*(0 + 4*0,5^4 + 1^4) + (2-1)/6*(1^4 + 4*1,5^4 + 2^4) = 6 5/12 ≈ 6,416666667` .
Dat is al beter dan de benadering bij c. Bij vier gelijke deelintervallen vind je `≈ 6,401041667` .

Met de trapeziummethode en vier gelijke deelintervallen vind je `≈ 0,5*((0^4+2^4)/2 + 0,5^4 + 1^4 + 1,5^4) = 7,0625` .
En dat is er nog behoorlijk ver naast.

De ondersom wordt `3,0625` en de bovensom wordt `11,0625` .
De integraal zit daar ergens tussenin.

Opgave 5

Dit wordt veel algebraïsch geknutsel.
Je begint met het opstellen van de formule voor een parabool die eigenlijk door de punten `(a,f(a)), (b,f(b))` en `(1/2 a + 1/2 b, f(1/2 a + 1/2 b))` moet gaan. Maar je kunt beter eerst de zaak horizontaal verschuiven (translatie t.o.v. de `y` -as) over `text(-)(1/2 a + 1/2 b) = 1/2 b - 1/2 a` . Dat maakt het rekenwerk iets prettiger. De drie punten waar de parabool met formule `y = px^2 + qx + r` doorheen moet, worden dan `(1/2 a - 1/2 b, f(a))` , `(1/2 b - 1/2 a, f(b))` en `(0, f(1/2 a + 1/2 b))` .
Druk nu `p` , `q` en `r` uit in `a` en `b` .

De integraalbenadering wordt nu `int_(0,5a - 0,5b)^(0,5b - 0,5a) (px^2 + qx + r) text(d)x = [1/3 px^3 + 1/2 qx^2 + rx]_(0,5b-0,5a)^(0,5a-0,5b)` .
Hierin moet je dan alleen nog de juiste uitdrukkingen voor `p` , `q` en `r` invullen.
Succes!

Opgave 6

De breedte van elk deelinterval is `(2-text(-)2)/8 = 1/2` .
De benadering wordt dan `1/2*((f(text(-)2)+f(2))/2 + f(text(-)1,5) + f(text(-)1) + f(text(-)0,5) + f(0) + f(0,5) + f(1) + f(1,5)) ~~ 4,76076` .

De benadering voor het eerste deelinterval is `(text(-)1,5-text(-)2)/6 * (f(text(-)2) + 4 * f(text(-)1,75) + f(text(-)1,5)) ~~ 0,30477` .
De benadering voor het tweede deelinterval is `1/12 * (f(text(-)1) + 4 * f(text(-)1,25) + f(text(-)1,5)) ~~ 0,61141` .
De benadering voor het derde deelinterval is `1/12 * (f(text(-)0,5) + 4 * f(text(-)0,75) + f(text(-)1)) ~~ 0,74207` .
De benadering voor het vierde deelinterval is `1/12 * (f(0) + 4 * f(text(-)0,25) + f(text(-)0,5)) ~~ 0,79625` .

De benadering voor de integraal wordt zo `~~ 4,90900` .

Opgave 7

De grafiek is een halve cirkel met straal `2` .
De oppervlakte van het gebied onder de grafiek is daarom `1/2 * pi * 2^2 = 2pi` .

De benadering voor het eerste deelinterval is `(text(-)1,5-text(-)2)/6 * (f(text(-)2) + 4 * f(text(-)1,75) + f(text(-)1,5)) ~~ 0,43299` .
De benadering voor het tweede deelinterval is `1/12 * (f(text(-)1) + 4 * f(text(-)1,25) + f(text(-)1,5)) ~~ 0,77499` .
De benadering voor het derde deelinterval is `1/12 * (f(text(-)0,5) + 4 * f(text(-)0,75) + f(text(-)1)) ~~ 0,92373` .
De benadering voor het vierde deelinterval is `1/12 * (f(0) + 4 * f(text(-)0,25) + f(text(-)0,5)) ~~ 0,98948` .
De andere vier deelintervallen hebben dezelfde oppervlaktes.

De benadering voor de oppervlakte wordt zo `~~6,24238` en `2pi ~~ 6,28319` .

Opgave 8

`[4/3 x^3 - 1/5 x^5]_0^2 = 4 4/15 = 4,266666...`

De ondersom wordt `0,5*(0 + 0,9375 + 3 + 3,9375) = 3,9375` .
De bovensom wordt `0,5*(0,9375 + 3 + 3,9375 + 3,9375) = 7,875` .
De werkelijke waarde van de integraal zit daar tussenin.

Ongeveer `0,5*((0+0)/2 + 0,9375 + 3 + 3,9375) = 3,9375` , geen beste benadering.

Ongeveer `(1-0)/6*(0 + 4*0,9375 + 3) + (2-1)/6*(3 + 4*3,9375 + 0) = 4,25` , al redelijk in de buurt.

Opgave 9

`[text(e)^x]_0^1 = text(e)-1 ~~ 1,71828`

De trapeziummethode geeft `1/4 * ((text(e)^0 + text(e)^1)/2 + text(e)^(0,25) + text(e)^(0,5) + text(e)^(0,75)) ~~ 1,72722` .

Op twee decimalen nauwkeurig komen ze bijna overeen.

Opgave 10

`[(2^x)/(ln(2))]_0^1 = 2/(ln(2)) - 1/(ln(2)) ~~ 1,442695041`

De regel van Simpson geeft `1/12*(1 + 4*2^(0,25) + 2^(0,5)) + 1/12*(2^(0,5) + 4*2^(0,75) + 2) ~~ 1,44270` .

De benadering is redelijk goed.

Opgave 11

De GR geeft `≈ 1,5707963` , dat is natuurlijk een benadering van `1/2 pi` (je kunt deze integraal ook exact berekenen).
Doe vervolgens de trapeziummethode met vier deelintervallen en daarna de regel van Simpson met twee deelintervallen.
De regel van Simpson geeft de snelste benadering.

Opgave 12Normale verdeling

Normale verdeling

`0,5*1/(sqrt(2pi))*((text(e)^(text(-)0,5)+text(e)^(text(-)0,5))/2 + text(e)^(text(-)0,125) + text(e)^0 + text(e)^(text(-)0,125)) ≈ 0,6826894921` .

`(0-text(-)1)/6*1/(sqrt(2pi))*(text(e)^(text(-)0,5) + 4*text(e)^(text(-)0,125) + text(e)^0) + (1-0)/6*1/(sqrt(2pi))*(text(e)^0 + 4*text(e)^(text(-)0,125) + text(e)^(text(-)0,5)) ≈ 0,683058104` .

Ja, je hebt inderdaad ongeveer `0,68` gevonden.

Nu benader je op dezelfde manier de integraal `int_(text(-)2)^2 1/(sqrt(2pi)) text(e)^(text(-) 1/2 x^2 ) text(d)x` . Gebruik de methode van Simpson met vier deelintervallen. Je komt ongeveer op `0,95` uit.

Opgave 13

`[text(-)2/3*(2-x)^(1 1/2)]_0^2 = 4/3 sqrt(2) ~~ 1,885618083`

De ondersom wordt `0,5*(sqrt(1,5) + sqrt(1) + sqrt(0,5) + sqrt(0)) ~~ 1,465925826` .
De bovensom wordt `0,5*(sqrt(2) + sqrt(1,5) + sqrt(1) + sqrt(0,5))~~2,173032607` .
De werkelijke waarde van de integraal zit daar tussenin.

Ongeveer `0,5*((sqrt(2)+0)/2 + sqrt(1,5) + sqrt(1) + sqrt(0,5)) ~~ 1,819479217`

Ongeveer `(1-0)/6*(sqrt(2) + 4*sqrt(1,5) + sqrt(1)) + (2-1)/6*(sqrt(1) + 4*sqrt(0,5) + 0) ~~ 1,345177969` , dat is nu een slechte benadering.

verder | terug