Rijen > Directe formulesToepassen
Bekijk de figuur met de eerste vier stappen in het maken van een zogenaamde "Koch sneeuwvlok" . Deze vorm is één van de eerste "fractals" die door de wiskundige Helge von Koch (1870—1924) beschreven werd. Een fractal is een vorm met een herhalend patroon dat er altijd hetzelfde uitziet.
|
`n=0` |
`n=1` |
`n=2` |
`n=3` |
In dit geval begin je met een gelijkzijdige driehoek, en voeg je aan iedere zijde een kleinere gelijkzijdige driehoek toe. Als je oneindig lang doorgaat met kleinere driehoekjes toevoegen (zoals je in de figuur een paar stappen ziet gebeuren), zal het patroon tot in de oneindigheid op dezelfde manier doorgaan.
Bekijk de figuur met `n = 0` bij de eerste stap, `n = 1` bij de tweede stap, enzovoort. Stel dat de gelijkzijdige driehoek bij `n = 0` zijden van lengte `1` heeft. De toegevoegde driehoekjes hebben telkens een zijde van `1/3` de lengte van de grotere driehoek waar ze aan bevestigd worden.
De lengte van een zijde van de sneeuwvlok na
`n`
stappen beschrijft een rij met een regelmaat. Noem de lengte van een zijde van de
sneeuwvlok na
`n`
stappen
`Z_n`
.
Geef de eerste vier termen van
`Z_n`
.
Geef een directe formule voor `Z_n` .
Noem het aantal zijden van de sneeuwvlok na
`n`
stappen
`a_n`
.
Geef de eerste vier termen van
`a_n`
.
Geef een directe formule voor `a_n` .
De omtrek van de Koch sneeuwvlok is `A_n` .
Geef een directe formule voor `A_n` .
De oppervlakte van de Koch sneeuwvlok wordt niet oneindig groot.
Leg uit, waarom de omtrek wel oneindig groot wordt.