`x = sqrt( 20 )` en `x = text(-) sqrt( 20 )` .
Geen reële oplossingen.
Alle reële getallen voldoen aan deze ongelijkheid.
Nee. Er kunnen maximaal twee oplossingen zijn.
Dit is een goede oefening. Maak een overzicht in de vorm van een "mindmap" (je weet wel: met pijltjes en zo).
Een maximum van `text(-)5` , want het getal waarmee je het kwadraat vermenigvuldigt, is negatief.
Nee, want het maximum is `text(-)5` .
`text(-)2 (x - 4)^2 - 5 = text(-)7` geeft `(x - 4)^2 = 1` , dus `x=3 vv x=5` .
Eerst `4` verschuiven in de `x` -richting, vervolgens in de `y` -richting herschalen met factor `0,5` en `text(-)4` verschuiven in de `y` -richting.
Een minimum van `text(-)4` , want het getal waarmee je het kwadraat vermenigvuldigt, is positief.
`1/2 (x - 4)^2 - 4 = 100`
geeft
`(x - 4)^2 = 208`
en
`x = 4 - sqrt(208) vv x = 4 + sqrt(208)`
.
Grafiek (dalparabool):
`4 - sqrt(208) lt x lt 4 + sqrt(208)`
.
`f(x)` is een parabool, dus een kwadratisch verband, met de top `(2, 1)` .
Dus `f(x) = a(x-2)^2 + 1` en gaat door `(3, 2)` .
Dat geeft `2 = a(3-2)^2 + 1` , dus `a=1` en `f(x) = 1(x-2)^2 + 1` , dus `f(x) = (x-2)^2 + 1` .
`g(x)` is een parabool, dus een kwadratisch verband, met de top `(1, 0)` .
Dus `g(x) = a(x-0)^2 + 1` en gaat door `(1, 0)` .
Dat geeft `0 = a(1-0)^2 + 1` , dus `a=text(-)1` en `g(x) = text(-)1(x-0)^2 + 1` , dus `g(x) = text(-)x^2 + 1` .
`h(x)` is een parabool, dus een kwadratisch verband, met de top `(1,5; 3)` .
Dus `h(x) = a(x-1,5)^2 + 3` en gaat door `(3,5; 1)` .
Dat geeft `1 = a(3,5-1,5)^2 + 3` , dus `a=text(-)0,5` en `h(x) = text(-)0,5(x-1,5)^2 + 3` .
Met `text(-)1` verschuiven in de `x` -richting, dan met factor `2` herschalen in de `y` -richting en ` text(-)3` verschuiven in de `y` -richting.
Min. `f(text(-)1) = text(-)3`
De lijn `x = text(-)1` .
Als `a` positief is, dan is het een dalparabool en heeft de grafiek dus een minimum. Als `a` negatief is, dan is het een bergparabool en heeft de grafiek dus een maximum.
Dat zie je aan `q` .
`x = p` , want de top zit bij de `x` -waarde waarbij het kwadraat `0` wordt.
Bij de formule `y = 2(x - 1)^2 - 5` hoort een dalparabool met top `(1, text(-)5)` . Deze parabool snijdt de lijn `y=3` twee keer en heeft dus twee oplossingen.
Dat kun je ook als volgt bepalen.
De kwadratische vergelijking `2 (x - 1)^2 - 1 = 3` kun je herleiden tot `(x - 1)^2 = 4` . Omdat `4 gt 0` heeft de vergelijking twee oplossingen.
De kwadratische vergelijking `text(-)2(x-3)^2 + 5 = 18` kun je herleiden tot `(x - 3)^2 = text(-)6,5` . Omdat `text(-)6,5 lt 0` heeft de vergelijking geen oplossingen.
De kwadratische vergelijking `text(-)2(x-3)^2 + 5 = 0` kun je herleiden tot `(x-3)^2 = 2,5` . De vergelijking heeft twee oplossingen.
De vergelijking `text(-)2(x-3)^2 + 5 = 5` kun je herleiden tot `(x-3)^2 = 0` . De vergelijking heeft één oplossing.
`x = 10 vv x = text(-)10`
`(x - 4)^2 = 64` geeft `x-4 = +-8` , dus `x = text(-)4 vv x = 12` .
`text(-)3 (x + 1)^2 = text(-)75` geeft `(x + 1)^2 = 25` dus `x = text(-)6 vv x = 4` .
`3 (x + 2)^2 - 3 = 27` geeft `(x + 2)^2 = 10` en `x = text(-)2 - sqrt(10) vv x = text(-)2 + sqrt(10)` .
`2 x^2 - 7 = 0` geeft `x^2 = 3,5` en `x = text(-)sqrt(3,5) vv x = sqrt(3,5)` .
`(x - 4)^2 = 10`
geeft
`x = 4 +- sqrt(10)`
.
Grafiek (dalparabool):
`4 - sqrt(10) lt x lt 4 + sqrt(10)`
.
`text(-)2 (x + 3)^2 + 10 = 4`
geeft
`(x+3)^2 = 3`
en
`x = 3 +- sqrt(3)`
.
Grafiek (bergparabool):
`x lt text(-)3 - sqrt(3) ∨ x gt text(-)3 + sqrt(3)`
.
`3 (x - 5)^2 - 2 = 10`
geeft
`(x-5)^2 = 2`
en
`x = 5 +- 2`
.
Grafiek (dalparabool):
`x le 3 ∨ x ge 7`
.
Eerst `text(-)8` eenheden verschuiven in de `x` -richting, dan herschalen in de `y` -richting met factor `2` en daarna `text(-)8` eenheden in de `y` -richting verschuiven.
Als je de laatste twee stappen verwisselt, krijg je `h (x) = 2 ((x + 8)^2 - 8) = 2 (x + 8)^2 - 16` . De grafiek van `h` ligt `8` lager dan die van `f` . De volgorde is dus belangrijk.
Het minimum is `text(-)5` voor `x=text(-)3` .
`0,5 (x + 3)^2 = 10` geeft `(x + 3)^2 = 20` dus `x = text(-) 3 - sqrt(20) vv x = text(-) 3 + sqrt(20)` .
`0,5 (x + 3)^2 - 5 = text(-)5` geeft `(x + 3)^2 = 0` dus `x = text(-)3` .
`0,5 (x + 3)^2 - 5 = text(-)10` geeft `(x + 3)^2 = text(-)10` en er zijn dus geen oplossingen.
`0,5(x + 3)^2 - 5 = text(-)3`
geeft
`(x + 3)^2 = 4`
en
`x=text(-)1 vv x=text(-)5`
.
Grafiek (dalparabool):
` x lt text(-)5 vv x gt text(-)1`
.
`0,5 (x + 3)^2 - 5 = 0`
geeft
`(x + 3)^2 = text(-)10`
en dus
`x=text(-)3+-sqrt(10)`
.
Grafiek (dalparabool):
`text(-)3 - sqrt(10) lt x lt text(-)3 + sqrt(10)`
.
De grafiek is een dalparabool met top `(text(-)3, text(-)5)` . Deze top en dus de hele parabool liggen boven de lijn `y=text(-)10`
Dus geldt de ongelijkheid voor elke `x` .
Top is `(text(-)2 , 10)` en het is een bergparabool, dus dalend voor `x gt text(-)2` .
`text(-)3 (x + 2)^2 + 10 = 0`
geeft
`(x + 2)^2 = 10/3`
en
`x = text(-)2 +- sqrt(10/3)`
.
Snijpunten met de
`x`
-as:
`(text(-)3,83; 0)`
en
`(text(-)0,17; 0)`
.
`5 - x^2 = text(-)21`
geeft
`x^2 = 26`
en dus
`x = +-sqrt(26)`
.
Grafiek (bergparabool):
`text(-)sqrt(26) lt x lt sqrt(26)`
.
`text(-)4 (x + 80)^2 = text(-)60`
geeft
`(x + 80)^2 = 15`
en
`x = text(-)80 +- sqrt(15)`
.
Grafiek (bergparabool):
`text(-)80 - sqrt(15) lt x lt text(-)80 + sqrt(15)`
.
Het is een bergparabool met maximum `c` voor `x = 3` .
De `y` -coördinaat van de top van de grafiek van `f` is `c` .
De grafiek van `f` is een bergparabool. Als de top boven de `x` -as ligt, dan snijdt de parabool de `x` -as twee keer. Dit is het geval als `c gt 0` .
De `y` -coördinaat van de top van de grafiek van `f` is `c` .
De grafiek van `f` is een bergparabool, dus als de grafiek van `f` de lijn `y=4` niet snijdt, moet gelden dat de top onder de lijn `y=4` moet liggen. Dus `c lt 4` .
Eerste uitwerking:
De symmetrieas ligt precies tussen beide nulpunten in. Dat is de lijn `x=text(-)7` . Dus `y=a(x+7)^2+q` .
Gebruik twee van de gegeven punten, bijvoorbeeld `(text(-)3, 0)` en `(0, 12)` .
`(text(-)3, 0)`
invullen, geeft
`0 = a(text(-)3+7)^2 + q`
, dus
`0 = 16a+q`
en
`q = text(-)16a`
.
`(0, 12)`
invullen, geeft
`12 = a(0+7)^2 + q`
, dus
`12 = 49a+q`
en
`q = text(-)49a+12`
.
Los het stelsel vergelijkingen op±
`text(-)16a = text(-)49a + 12` , dus `33a=12` en `a=12/33=4/11`
Vul `a = 4/11` in bijvoorbeeld `0 = 16a+q` in. Je vindt `0 = 16*4/11 + q` en dus `q = text(-)64/11` .
Dus het functievoorschrift wordt `y = 4/11 (x+7)^2 - 64/11` .
Tweede uitwerking:
Omdat hier de nulpunten bekend zijn, is er hier een simpeler manier. Een andere manier om een kwadratisch verband weer te geven is: `y = a(x-m)(x-n)` , waarbij `m` en `n` de nulpunten zijn.
Dat wordt dus: `y = a(x+3)(x+11)` .
Verder ligt `(0, 12)` op de grafiek, dus die waarden kun je invullen voor `x` en `y` .
Dat geeft `a = 12/33 = 4/11` .
Dus: `y = 4/11 (x+3)(x+11)` .
Luchtweerstand en draaiing van de bal zijn van invloed op de baan.
De algemene formule van een parabool is
`y = a(x-p)^2 + q`
, waarin
`(p, q)`
de top is.
Hier is de top
`(10; 1,5)`
, dus
`p=10`
en
`q=1,5`
.
Ga uit van `h = a (x-10)^2 + 1,5`
Vul het punt `(0; 0,5)` in en bereken `a` uit `a(text(-)10)^2 + 1,5 = 0,05` .
Je vindt `a = text(-)0,01` .
`text(-)0,01 (x-10)^2 + 1,5 ` | `=` | `0` | |
`(x-10)^2` | `=` | `150` | |
`x` | `=` | `10 ± sqrt(150 )` |
Omdat `10 +sqrt(150) lt 24` is de bal in.
Top `(5 , 4 )` geeft: `h(x) = a (x-5)^2+4` .
Grafiek door `(0 ; 2,5)` , invullen van dit punt geeft: `25a+4 = 2,5` en dus `a=text(-)0,06` .
Conclusie: `h(x)=text(-)0,06 (x-5)^2 + 4` .
`text(-)0,06 (x-5)^2 + 4 = 3,05` geeft `(x-5)^2 = 15,833...` en dus `x ~~ 1,02 vv x~~8,98` .
Omdat je weet dat het een driepunter is, vervalt de eerste oplossing. De speler staat ongeveer `8,98` meter voor de basket.
Bergparabool met top `(0 , text(-)2)` .
Dalparabool met top `(4 , 8)` .
Bergparabool met top `(text(-)5, text(-)3)` .
`x = 4 ∨ x = 6`
`x = 5`
`x = text(-)5 ∨ x = text(-)3`
`x lt text(-)2 - sqrt(5) ∨ x gt text(-)2 + sqrt(5)`
`x lt text(-)4 - sqrt 3 ∨ x gt text(-)4 + sqrt3 `
Top bij symmetrieas
`x = 20`
geeft
`y = a (x - 20)^2 + q`
.
`(5 , 30)`
invullen, geeft
`225 a + q = 30`
en
`q = text(-)225a + 30`
.
`(25 , 0)`
invullen, geeft
`25 a + q = 0`
en
`q = text(-)25a`
.
Dit levert op:
`text(-)225a + 30 = text(-)25a`
, dus
`200 a = 30`
en
`a = 0,15`
, zodat
`q =text(-)3,75`
.
De formule is
`y = 0,15 (x - 20)^2 - 3,75`
.