Machtsfuncties > TotaalbeeldExamenopgaven
Het lijkt aannemelijk dat er een verband bestaat tussen de oppervlakte van een gebied en het aantal verschillende diersoorten dat in dat gebied voorkomt. Een theorie hierover stelt dat het aantal verschillende diersoorten op een eiland in een bepaalde klimaatzone alleen afhankelijk is van de oppervlakte van het eiland. In deze opgave kijken we naar de verschillende soorten reptielen op eilanden in het Caraïbisch gebied. Onderzoekers telden op vele eilanden het aantal verschillende soorten reptielen ( `S` ). In de volgende figuur zijn de gegevens van enkele eilanden weergegeven.
Volgens de theorie is het verband tussen de oppervlakte `A` van een eiland (in vierkante mijlen) en het aantal soorten reptielen ( `S` ) op dat eiland te beschrijven met de formule `S = 3 * A^(0,30)` . De lijn in de bovenstaande figuur is de grafiek die bij deze formule behoort.
Op het eiland Jamaica zijn meer soorten reptielen aangetroffen dan op grond van de theorie (de formule) verwacht mag worden. Hoeveel soorten reptielen zou een even groot eiland volgens de theorie hebben? Licht je antwoord toe.
Binnen de theorie geldt als ruwe regel: "Bij een `10` keer zo groot eiland vinden we `2` keer zoveel diersoorten." Laat zien dat dit uit de formule volgt.
Op een groot eiland worden veel verschillende soorten reptielen met uitsterven bedreigd. Men wil maatregelen nemen om de natuur te beschermen. Daarbij moet er een keuze worden gemaakt uit twee mogelijkheden:
-
Oprichting van `1` groot natuurreservaat met een oppervlakte van `400` vierkante mijlen.
-
Oprichting van `2` kleinere reservaten, elk met een oppervlakte van `200` vierkante mijlen. Dergelijke natuurreservaten liggen geïsoleerd in de bewoonde wereld en kunnen als "eilanden" beschouwd worden.
Voor het schatten van het aantal soorten reptielen dat in zo’n reservaat zal voorkomen kan de formule `S = 3 * A^(0,30)` gebruikt worden. Of voor `1` of `2` reservaten gekozen wordt, is mede afhankelijk van het aantal soorten dat de twee kleinere reservaten gemeen zullen hebben. Men neemt aan dat er `8` soorten reptielen zijn die zowel in het éne als het andere kleine reservaat zullen voorkomen. Men wil de mogelijkheden kiezen waarbij in totaal zoveel mogelijk verschillende soorten reptielen zullen voorkomen.
Welke van de twee mogelijkheden zal men kiezen? Licht je antwoord toe.
(bron: examen wiskunde A havo 1993, eerste tijdvak)
Een deel van de bossen in Nederland is bestemd voor de houtindustrie. Voordat een bos wordt gekapt, onderzoekt men meestal eerst hoeveel m3 hout het bos op zal leveren. Dit gebeurt aan de hand van de diameter en de hoogte van bomen. De diameter van een boom wordt gemeten op een vaste hoogte.
Voor het bepalen van de hoeveelheid hout in één boom wordt gebruikgemaakt van de volgende formule: `V = f * d^2 * h` met diameter `d` en hoogte `h` (beide in meters). In deze formule is `V` het volume aan hout in de boom in m3. De factor `f` heet de vormfactor. De vormfactor is een getal dat afhangt van de soort boom en de diameter `d` van de boom. Een voorbeeld van een boom die gebruikt wordt in de houtindustrie is de grove den (Pinus sylvestris). Zie de afbeelding.
Voor de grove den wordt het verband tussen de vormfactor `f` en de diameter `d` (m) bij benadering gegeven door de volgende formule: `f = 0,30*d^2 - 0,36*d + 0,46`
In een bos staat een grove den met een diameter van `0,16` m.
Bereken hoeveel procent de vormfactor van deze boom afneemt als de diameter van deze boom met `100` % toeneemt.
De grootste bekende diameter van een grove den is `1,2` m. Naarmate de diameter van een grove den groter is, is de hoogte ook groter. Voor de grove den geldt bij benadering het volgende verband tussen de hoogte `h` en de diameter `d` : `h = 44 * d^(0,65)` . Ook hier zijn de diameter en de hoogte in meters.
Een grove den van `40` m hoog wordt gekapt. Bereken hoeveel hout deze grove den volgens de formules bevat.
Op basis van de formule `f = 0,30*d^2 - 0,36*d + 0,46` en de formule `h = 44*d^(0,65)` kan de formule `V = f * d^2 * h` worden geschreven als `V = a*d^(4,65) + b*d^(3,65) + c*d^(2,65)` . Hierin zijn `a` , `b` en `c` constanten.
Toon aan dat `V` inderdaad geschreven kan worden als `V = a*d^(4,65) + b*d^(3,65) + c*d^(2,65)` en bereken `a` , `b` en `c` in twee decimalen nauwkeurig.
(naar: vwo examen wiskunde A in 2011, eerste tijdvak)
Op 26 december 2004 werd Zuidoost-Azië getroffen door een tsunami. Een tsunami is één heel lange golf die bij de kust heel hoog wordt. De tsunami had rampzalige gevolgen voor een aantal kustgebieden. Dit kwam door de enorme hoeveelheid water die door deze tsunami werd meegevoerd. In de figuur is een schematisch overzicht te zien van het verloop van een tsunami. Boven elke genoemde waterdiepte is steeds de bijbehorende snelheid weergegeven.
In de figuur is bijvoorbeeld te zien dat een tsunami bij een diepte van `4000` meter zich met een snelheid van `710` km/uur verplaatst. Voor de snelheid van een tsunami geldt bij benadering de volgende formule: `v = 11,3 sqrt(d)` . Hierin is `v` de snelheid in km/uur en `d` de waterdiepte in meter. In de figuur ontbreken twee waarden voor de waterdiepte. Zij zijn aangegeven met een vraagteken.
Bereken met behulp van bovenstaande formule en de gegevens uit de figuur deze twee ontbrekende waarden.
De tsunami van december 2004 werd veroorzaakt door een aardbeving onder zee, `150` km uit de kust van het Indonesische eiland Sumatra. De tsunami plantte zich voort door de Golf van Bengalen, waar de zee ongeveer `3` km diep is.
Bereken hoeveel minuten een tsunami nodig heeft om een afstand van `150` km af te leggen in water van `3` km diep.
In de figuur is ook te zien dat in de buurt van de kust, waar de waterdiepte niet
zo groot is, de golfhoogte van een tsunami groter wordt. Op volle zee, waar de waterdiepte
groot is, is de golfhoogte niet zo hoog. Bij tsunami’s is het volgende verband gevonden
tussen waterdieptes en golfhoogtes:
`h_2 = (d_1/d_2)^(0,25) * h_1`
Hierin is
`h_1`
de golfhoogte bij waterdiepte
`d_1`
en
`h_2`
de golfhoogte bij waterdiepte
`d_2`
;
`h_1`
,
`d_1`
,
`h_2`
en
`d_2`
zijn in meters. De tsunami van 26 december 2004 ontstond in een gebied met waterdiepte
`1`
km en golfhoogte
`60`
cm. Met deze gegevens en de formule
`h_2 = (d_1/d_2)^(0,25) * h_1`
kunnen we voor het verdere verloop van deze tsunami het verband tussen de waterdiepte
`d`
en de golfhoogte
`h`
beschrijven met de formule:
`h = 3,37* d^(text(-)0,25)`
.
Toon dit aan.
(naar: examen vwo wiskunde C in 2012, tweede tijdvak)