Neem aan dat op `t = 0` geldt `N~~200` en op `t = 1650` geldt `N~~500` .

Dan is de richtingscoëfficiënt `a = (500-200)/(1650-0)~~0,18` en het snijpunt met de verticale as is `(0, 200)` .

Het lineaire verband heeft dan de formule die je in de uitleg ziet.

`t = 2000` geeft `N ~~ 560` , dus in 2000 zouden er ongeveer `560` miljoen mensen zijn geweest.

`t = 2050` geeft `N ~~ 569` , dus in 2050 zouden er ongeveer `569` miljoen mensen zijn geweest.

`t = 1000` geeft `N ~~ 380` , dus in 1000 zouden er ongeveer `380` miljoen mensen zijn geweest.

Neem aan dat op `t=1650` geldt `N~~500` en op `t = 1975` geldt `N~~4000` .

Dan is de groeifactor `g = (4000/500)^(1/(1975-1650))~~1,006` en het startpunt is `(1650, 500)` .

Het exponentiële verband heeft dan de formule die je in de uitleg ziet.

`t = 2000` geeft `N ~~ 4058` , dus in 2000 zouden er ongeveer `4058` miljoen mensen zijn geweest, dan is ongeveer `4,1` miljard.

`t = 2050` geeft `N ~~ 5472` , dus in 2050 zouden er ongeveer `5472` miljoen mensen zijn geweest, dat is ongeveer `5,5` miljard.

In 1993 waren er ongeveer `5,5` miljard mensen. En in 2011 is de `7` miljard overschreden.

Neem horizontaal bij de cm-verdeling `0, 200, 400, ..., 2000, 2200` .

Je zou ongeveer uit moeten komen bij `N = 200 * 1,00166^t` . Maar jouw antwoord zal daar vast wel iets van afwijken.

`t = 2000` geeft `N ~~ 5516` , dus in 2000 zouden er ongeveer `5516` miljoen mensen zijn geweest, dan is ongeveer `5,5` miljard.

`t = 2050` geeft `N ~~ 5993` , dus in 2050 zouden er ongeveer `5993` miljoen mensen zijn geweest, dat is ongeveer `6,0` miljard.

Je komt nog steeds te laag uit.

`a_n = 3*(n-1) + 5` en `b_n = 5*3^(n-1)` .

Bij de recursieformule moet je term voor term gaan berekenen, bij de directe formule heb je in één keer het goede antwoord.

`a_99 = 3*99 + 5 = 302` .

`b_99 = 5*3^99 ~~ 8,589625346*10^(47)` (beter laat je het antwoord `5*3^99` gewoon staan).

Elke stap doe je steeds `+60`

De rij is met een lineair verband.

`u_(n) = u_(n-1) + 60` met `u_0 = 1020` .

`u_5 = 1320` , `u_6 = 1380` en `u_7 = 1440` .

`u_(n) = 1020 + 60n`

`u_(99) = 1020 + 60*99 = 1020 + 5940 = 6960`

`1200 * 1,015^(1/12) ~~ 1201,49`

`S_n = S_(n-1) * 1,015^(1/12) ~~ S_(n-1) * 1,0012` met `S_0 = 1200` .

Dit zou `S_12 = 1200 * (1,015^(1/12))^12 = 1200 * 1,015 = 1218` euro moeten zijn. Het tussentijds afronden maakt daarbij geen verschil.

`a = (Delta y)/(Delta x) = (128-200)/(22-10) = text(-)6` .
De formule wordt `y = text(-)6x + 260` .

`y = 128 + 2*6 = 140` .

`y = 128 - 8*6 = 80` .

`g = (128/200)^(1/(22-10)) ~~ 0,963`
De formule wordt `y ~~ 290,1*0,963^x` .

`y ~~ 290,1*0,963^(30) ~~ 93,6` .

`K_j = 1,20a`

`K = 1,20a + 70`

€ 1,20

€ 70,00

`1,20*195 + 70 = 304` euro.

De formule van `K_j` geeft een recht evenredig verband aan omdat de grafiek ervan een rechte lijn is die door de oorsprong gaat.

`45 = 4,5*10^1` : dit laatste punt komt tussen het derde en het vierde streepje boven `10^1` .

`H = 1000*0,992^75 ~~ 547` microgram.

Los de vergelijking `1000*0,992^t = 500` op met behulp van je GR of logaritmen.
De halveringstijd is ongeveer `86` jaar.

Los de ongelijkheid `0,992^t lt 0,05` op.
Het zou dan `373` jaar duren voordat er minder dan `5` % over is.

Een exponentieel groeimodel, dat kun je zien aan de punten die op enkellogaritmisch papier bij benadering een rechte lijn vormen.

`3500/(1 + 6*0,8^t) gt 1500` geeft `t~~6,74` , dus na `7` maanden.

GR: `y_1 = 3500/(1+6*0,8^x)` en `y_2 = (y_1(x+0,001)-y_1(x))/(0,001)` .
Bepaal met de GR het maximum van de hellingsgrafiek. De helling is het steilst na `8` maanden, er komen dan `195` zalmen per maand bij.

De grafiek heeft een horizontale asymptoot `A = 3500` .
Dit betekent dat de grenswaarde voor het aantal zalmen `3500` is. Het aantal zalmen zal nooit boven die grenswaarde uitkomen.

Op 1 januari 2013 waren er `4800` vrouwelijke daklozen en op 1 januari 2014 waren er `5500` .
In een jaar tijd is het aantal daklozen met `5500-4800 = 700` toegenomen.
Dat is een toename van `700/4 = 175` per kwartaal.
Op 1 april is het eerste kwartaal net voorbij.
Op 1 april 2013 waren er naar schatting `4800+175 = 4975` vrouwelijke daklozen.

Op 1 januari 2014 waren er `6800` daklozen tussen de 18 en 30 jaar. Op 1 januari 2015 waren er `8300` .
In een jaar tijd is het aantal daklozen tussen de 18 en 30 jaar met `8300-6800 = 1500` toegenomen.
Dat is een toename van `1500/4 = 375` per kwartaal.
Op 1 oktober is het derde kwartaal net voorbij.
Tussen 1 januari 2015 en 1 oktober 2016 zitten `7` kwartalen.
Op 1 oktober 2016 waren er naar schatting `8300+7*375 = 10925` daklozen tussen 18 en 30 jaar.

`230-212=18` , `250-230=20` , `272-250=22` , `295-272=23` , `320-295=25`
`u` is geen rij met een lineair verband, want de verschillen zijn niet constant.
`230/212~~1,08` , `250/230~~1,09` , `272/250~~1,09` , `295/272~~1,08` , `320/295~~1,08`
`u` is bij benadering een rij met een exponentieel verband met een groeifactor per vijf jaar van ongeveer `1,085` ; de groeifactor per jaar is ongeveer `1,085^(1/5)~~1,02` .

`u_1 = u_0*1,02 = 212*1,02 ~~ 216`

`u_2 = u_1*1,02 = 216*1,02 ~~ 220`

In 1992 waren er ongeveer `220` kikkers.

`212*1,02^n`	`=`	`400`
`1,02^n`	`=`	`400/212`
`n`	`=`	`\ ^(1,02)log(400/212)~~32`

`61-25 = 36` , `97-61 = 36` , `132-97 = 35` , `168-132 = 36` , `205-168 = 37` .
`u` is een rekenkundige rij, want de verschillen zijn bij benadering constant. Er komen steeds ongeveer `36` inschrijvingen per vier uur bij, dat zijn `36/4 = 9` inschrijvingen per uur.

`u_n = u_(n-1) + 9` met `u_0 = 25` .

`u_1 = u_0 + 9 = 25 + 9 = 34` en `u_2 = u_1 + 9 = 34 + 9 = 43` .

`u_n = 25 + 9*n` met `n = 0, 1, 2, ...`
Dit is een lineaire formule.

Los de vergelijking `25 + 9n = 500` op.

Na ongeveer `52` uur wordt de inschrijving gesloten.

Een recht evenredig verband: `K = 42,50a` .

Een lineair verband: `K = 39a + 20` .

Los de ongelijkheid `39a+20 lt 42,50a` op.

`39a+20`	`lt`	`42,50a`
`39a+20`	`=`	`42,50a`
`text(-)3,5a`	`=`	`text(-)20`
`a`	`~~`	`5,7`

Vanaf `6` uur is loodgieter Willemsen voordeliger.

2000: van 1999 tot 2005 neemt het aantal auto's in zes jaar toe met `200000` .
In één jaar neemt het aantal personenauto's dan gemiddeld toe met `200000/6~~33333` auto's.
2000 is één jaar na 1999, in 2000 zijn er `4100000 + 33333 = 4133333` personenauto's.
2006: van 2005 tot 2007 neemt het aantal auto's in twee jaar toe met `50000` .
In één jaar neemt het aantal personenauto's dan gemiddeld toe met `50000/2 = 25000` auto's.
2006 is één jaar na 2005, in 2006 zijn er `4300000 + 25000 = 4325000` personenauto's.

2014: het aantal auto's neemt van 2009 tot 2010 in één jaar toe met `160000` .
2014 is vier jaar na 2010, het aantal auto's in 2014 is `4660000 + 4 * 160000 = 5300000` personenauto's.
2016: het aantal auto's in 2016 is dan `4660000 + 6 * 160000 = 5620000` personenauto's.

Bepaal door lineair extrapoleren het aantal personenauto's in Nederland in 1990. Bij a is berekend dat er van 1999 tot 2005 in zes jaar tijd per jaar afgerond `33333` auto's per jaar bijkomen. Terugrekenen naar 1990 geeft `4100000 - 33333 * 9 ~~3800003` .
In Nederland waren er toen `14,89` miljoen mensen. Er waren `3800003/14890000 ~~ 0,26` auto's per Nederlander.

`14890000/3800003 ~~ 3,92` Nederlanders per auto.

Er is een exponentieel groeimodel, dat kun je zien aan de punten die op enkellogaritmisch papier bij benadering een rechte lijn vormen.

Los de ongelijkheid `28,5*1,21^t gt 250` op met de GR of met logaritmen.

Vanaf een leeftijd van `52` jaar is de vlooiafstand voor het eerst meer dan `250` mm.

`n`	0	1	2	3	4	5	6
`u_n`	37	43	49	55	61	67	73

`u_8 = u_6 + 6 + 6 = 73 + 12 = 85`

Directe formule: `u_n = 6n + 37` met `n = 0, 1, 2, 3, ...`
Recursieformule: `u_n = u_(n-1) + 6` met `u_0 = 37` .

Directe formule: `u_n = 255*0,6^n` met `n = 0, 1, 2, 3, ...`
Recursieformule: `u_n = u_(n-1)*0,6` met `u_0 = 255` .

`(1915-835)/835 ~~ 1,29` , dat is `129` % te veel.

`Z = 131*2,1^t` , dus je moet `131*2,1^t = 1700` oplossen.
Dit wordt `2,1^t = 1700/131` en `t = \ ^(2,1)log(1700/131)~~3,45` .
In 2009 worden er voor het eerst meer dan `1700` wilde zwijnen aangereden.

Teken een verticaal lijnstuk vanaf de horizontale as bij 1980 omhoog naar de grafiek. Teken het snijpunt en teken vanaf dit snijpunt een horizontaal lijnstuk richting de verticale as. Geef het snijpunt aan en meet de hoogte van dit snijpunt langs de verticale as vanaf de aangegeven waarde `10000` ( `= 10^4` ). Dit is (ongeveer) `31`  mm. De stapgrootte op de verticale as is `17,5` mm. Dan hoort bij `31` mm de waarde `10^(31/(17,5)+4) ~~ 590000` euro.

In `67` jaar is de groeifactor: `10000000/10000 = 1000` .
De groeifactor per jaar is `g = 1000^(1/67)~~1,109` .
Dat is een groei van (ongeveer) `11` % per jaar.

Los de vergelijking `1,109^t = 2` op.

GR: verdubbelingstijd is ongeveer `6,7` jaar. Of `t = \ ^(1,109)log(2)~~6,7` .
( `g=1,09` heeft een verdubbelingstijd van ongeveer `8` jaar.)

`7800`

`text(som) = 0,5*p^2*(0 + p^2 - 1)` en er zijn `p` rijen.
Het magische getal is: `(0,5*p^2*(p^2 - 1))/p = 0,5*p*(p^2 - 1)` .

`p = 11` en `p = 12` .

`N ~~ 0,039t + 6,694`

`~~12,544` mln.

`N ~~ 6,694*1,0045^t`

`~~ 13,126` mln.

Los op `1,0045^t = 2` . Je vindt `~~ 154` jaar.

`70631/75281 ~~ 0,938` , dus de afname is `6,2` % (of ruim `6` %): conclusie 1 is juist.

In 1991-1992 was het aandeel van de vrouwen `75281/(98272 + 75281) ~~ 0, 434`

In 1999-2000 was het aandeel van de vrouwen `70631/(80113 + 70631) ~~ 0, 469`

Het aandeel is toegenomen dus conclusie 2 is juist.

De groeifactor per maand is `1,0373^(1/12) ~~ 1,003` .

Bij 1 januari 2006 hoort `n = 12` . Je moet dus een tabel maken voor `S_n` vanaf `n=0` tot en met `n=12` , dat kan met de grafische rekenmachine. Haar schuld is dan volgens de recurrente betrekking € 2567,20 en dat betekent dat ze na de aflossing nog steeds een schuld heeft.