Toepassen van formules > Lineaire en exponentiële functiesToepassen
Bekijk deze grafiek uit een advertentie. Het gaat om de waarde van het aandeel Robeco in de periode 1933-2005. Je kunt in de grafiek bijvoorbeeld aflezen dat in 2000 de waarde van het aandeel Robeco gelijk was aan € 10.000.000,00.
Let op de schaalverdeling langs de verticale as. Er geldt: in 1980 ligt de waarde tussen € 100.000,00 en € 1.000.000,00. Bij deze schaalverdeling kun je zo’n tussenliggende waarde vrij nauwkeurig bepalen.
Schrijf in maximaal vijf regels een uitleg waarin je demonstreert hoe je de waarde van het aandeel in 1980 bepaalt.
De waardeontwikkeling van het aandeel tussen 1933 en 2000 kan worden benaderd door een rechte lijn. Dit houdt in dat de waarde in deze periode (bijna) exponentieel groeide. Neem aan dat de waarde in 2000 precies € 10.000.000,00 was.
Bereken (uitgaande van de exponentiële groei) met hoeveel procent de waarde van het aandeel Robeco in de periode 1933-2000 per jaar groeide.
Bij exponentiële groei wordt vaak de verdubbelingstijd gebruikt. Met het antwoord
op b kun je ook de verdubbelingstijd berekenen. Bereken de verdubbelingstijd.
Heb je bij b geen antwoord, gebruik dan
`9`
%.
(bron: voorbeeldexamen vwo wiskunde C in 2018)
Een groot vierkant wordt onderverdeeld in `625` kleine vierkantjes ( `25` in de breedte en `25` in de lengte). In ieder vierkantje komt een getal te staan. Alle getallen van `0` tot en met `624` komen precies één keer voor. Deze getallen zijn zó gerangschikt dat als je alle getallen in een rij bij elkaar optelt, dit steeds hetzelfde getal oplevert: het magische getal. Ook als je alle getallen in een kolom bij elkaar optelt, komt ditzelfde magische getal eruit.
| 5 | 0 | 7 |
| 6 | 4 | 2 |
| 1 | 8 | 3 |
Bekijk de figuur met een voorbeeld voor een vierkant van
`3`
bij
`3`
getallen:
het magische getal is hier
`12`
.
Het magische getal van het vierkant kun je berekenen door alle getallen van `0` tot en met `624` bij elkaar op te tellen en de uitkomst vervolgens te delen door het aantal rijen: elke rij moet immers bij optellen hetzelfde getal opleveren.
Voor een rij getallen zoals in dit kunstwerk geldt de volgende formule:
`text(som) = 0,5*text(aantal termen) * (text(eerste term)+text(laatste term))`
Bereken met behulp van deze formule het magische getal van het vierkant met `625` kleine vierkantjes.
In het algemeen geldt voor een vierkant van
`p`
bij
`p`
getallen waarin elk getal van
`0`
tot en met
`p^2-1`
precies één keer voorkomt de volgende formule voor het magische getal:
`text(magisch getal) = 0,5*p*(p^2 - 1)`
Deze formule voor het magische getal is af te leiden door gebruik te maken van het
volgende:
-
Voor de som van alle getallen in het vierkant geldt de formule: `text(som) = 0,5*text(aantal termen) * (text(eerste term)+text(laatste term))`
-
Het aantal termen is `p^2` (dit is namelijk gelijk aan het aantal getallen in een vierkant van `p` bij `p` getallen).
-
De eerste term is `0` , de laatste term is `p^2 - 1` .
-
Het magische getal is gelijk aan de som van alle getallen in het vierkant gedeeld door het aantal rijen.
Laat zien hoe met behulp hiervan de formule `text(magisch getal) = 0,5*p*(p^2 - 1)` is af te leiden.
Bereken voor welke waarden van `p` het magische getal van zo’n vierkant ligt tussen `500` en `1000` .
(bron: pilotexamen vwo wiskunde C in 2013, eerste tijdvak)