Toepassen van formules > Lineaire en exponentiële functiesUitleg
Vlak voor het jaar 2000 werd dit plaatje gemaakt om de groei van de wereldbevolking in kaart te brengen. Inmiddels is ergens in 2011 de `7` miljard overschreden.
Vanaf het jaar 1 tot het jaar 1650 lijkt de grafiek een rechte lijn.
Daarbij past de formule `N ~~ 0,18t + 200` .
Hierin is `t` het aantal jaren na het jaar 0 en `N` het aantal miljoenen mensen.
Wanneer de groei ook na 1650 op die manier was doorgegaan, dan waren er in het jaar 2000 ongeveer `560` miljoen mensen op Aarde geweest. Dit heet lineair extrapoleren. Daarbij gebruik je twee punten van een grafiek en neem je aan dat de grafiek een rechte lijn is die je doortrekt naar "de toekomst" .
Alleen liep het een beetje anders...
Neem aan dat de groei vanaf 1650 tot 1975 zuiver exponentieel was. Dat lijkt ook wel redelijk te passen bij de hele grafiek.
Dan past bij dat stuk van de grafiek de formule `N ~~ 500*1,006^(t-1650)` .
Hierbij is nog steeds `t=0` in het jaar 0 en `N` in miljoenen.
Nu is de voorspelling voor het jaar 2000 ongeveer `4058` miljoen.
Bekijk de gegevens in de
Laat zien, hoe je aan de formule bij dit verband kunt komen.
Voorspel door lineair extrapoleren het aantal mensen in 2000 en in 2050.
Het berekenen van tussenwaarden (in dit geval de aantal mensen in een jaartal tussen 0 en 1650) heet lineair interpoleren.
Voorspel door lineair interpoleren het aantal mensen in het jaar 1000.
Bekijk de gegevens in de
Laat zien, hoe je aan de formule bij dit verband kunt komen.
Voorspel door met behulp van deze formule het aantal mensen in 2000 en in 2050.
In werkelijkheid is de groei nog sneller gegaan.
Waaraan zie je dit?
Gebruik opnieuw de gegevens uit de
Om na te gaan of er van een exponentieel verband sprake is, wordt enkellogaritmisch papier gebruikt, je kent het nog wel. Op dit soort papier is de horizontale as gewoon lineair,
maar de verticale as kent een logaritmische schaal.
Teken de punten in de gegeven grafiek op dit papier. Laat zien dat je door de punten niet precies een rechte lijn kunt trekken.
Je kunt wel een lijn tekenen waar al deze punten redelijk bij in de buurt liggen. Welke formule hoort bij deze lijn?
Voorspel met deze laatste formule het aantal mensen in 2000 en 2050.