Eerst schrijf je `q = 300 - 0,5p` om naar `p = 600 - 2q` .

Je krijgt dan `R = q(600 - 2q) = 600q - 2q^2` .

Een kwadratisch verband.

GR: `y_1 = 600x - 2x^2` met venster `0 le x le 300` en `0 le y le 50000` .

Bij `150` verkochte spelcomputers per dag is de opbrengst per dag maximaal. De opbrengst is dan € 45000,00.

Voer in `y_1 = 600x - 2x^2` en laat de GR `(text(d)y)/(text(d)x)` bij `x = 50` bepalen.

Bij `x = 50` vind je `(text(d)y)/(text(d)x) = 100` .

`K = 30q + 1200`

`K = 30q + 1200 = 30(300-0,5p) + 1200 = 10200-15p`

Er is een lineair verband.

`W = R - K = 300p-0,5p^2 - (10200-15p) = text(-)0,5p^2 + 315p - 10200`

GR: `y_1 = text(-)0,5x^2 + 315x - 10200` met `0 le x le 600` en `0 le y le 35000` .
Bepaal het maximum van de grafiek, dit geeft: `x~~315,00` en `y = 39412,5` .
De winst per dag is maximaal als de spelcomputers € 315,00 per stuk kosten, de maximale winst per dag is dan € 39412,50.

GR: `y_1 = text(-)0,5x^2+315x-10200` met `0 le x le 700` bij `0 le y le 50000` .
Bepaal het differentiaalquotiënt `(text(d)y)/(text(d)x)` voor `x = 200` : `(text(d)y)/(text(d)x) ~~ 115` .
Als de verkoopprijs € 200,00 is, dan neemt de winst per dag met € 115,00 toe als de verkoopprijs met € 1,00 toeneemt.

Tussen 04:00 uur en 12:00 uur en tussen 16:00u en ongeveer 23:50 uur. Dat is in totaal 15:50 uur.

Noem voor het gemak de dag waarop de grafiek gemaakt is, dag 1.
Twee dagen later is het dan dag 3.
`16:20 - 12:05 = 04:15` uur op dag 3.
`04:15 - 12:05 = 16:10` uur op dag 2.
`16:10 - 12:05 = 04:05` uur op dag 2.
`04:05 - 12:05 = 16:00` uur op dag 1.
Lees in de grafiek de waterhoogte om 16:00 uur af, de waterhoogte is dan `1` meter.

De maximale toename is ongeveer `0,8` en de minimale toename is ongeveer `text(-)0,5` .

De periode is ongeveer `60/7 ~~ 8,5` seconden.

Deze persoon haalt ongeveer `60/(8,5) = 7` keer per minuut adem.

De evenwichtswaarde is `(80+56)/2 = 68` hartslagen per minuut.

De amplitude is `80 - 68 = 12` hartslagen per minuut.

Kennelijk gaat bij het inademen de hartslag wat omhoog. Dat komt doordat je bij het inademen spieren gebruikt en je je een klein beetje inspant. Bij het uitademen heb je geen spieren nodig.

GR: `y_1 = 960/x + 20` en `y_2 = 55` met `0 le x le 100` en `0 le y le 100` . Snijpunt bij `x~~27,43` , dus de prijs is `27,43` euro/kg.

`960/p+20`	`=`	`55`
`960/p`	`=`	`35`
`p`	`=`	`960/35~~27,43`

De prijs is `27,43` euro/kg.

Omdat je niet door `0` mag delen, heeft de grafiek een verticale asymptoot: `p = 0` .
Wanneer je voor `p` een heel groot getal invult, nadert `960/p` naar `0` . Dan nadert `960/p+20` naar `20` . De grafiek heeft een horizontale asymptoot: `k = 20` .

`(text(d)y)/(text(d)x)` voor `x = 15` is `~~text(-)4,27` .
Als de prijs per kilo € 15,00 is, dan neemt de verkochte hoeveelheid per week met `4,27` kg af als de prijs per kilo met € 1,00 toeneemt.

Er is een kwadratisch verband (tweedegraads verband).

Voer in: `y_1 = 500x - 1,5x^2` met `0 le x le 400` en `0 le y le 50000` .

Bepaal met de GR het maximum van de grafiek, dit geeft: `x ~~ 167` en `y ~~ 41667` .
De opbrengst is maximaal bij een verkoop van `167` artikelen, de opbrengst is dan ongeveer € 41667.

`(text(d)y)/(text(d)x) = 50`
Als het aantal verkochte artikelen `150` is, dan neemt de opbrengst per dag met € 50,00 toe als het aantal verkochte artikelen met `1` toeneemt.

Los de ongelijkheid `500q - 1,5q^2 gt 30000` op.
GR: `y_1 = 500x - 1,5x^2` en `y_2 = 30000` met `0 le x le 400` en `0 le y le 50000` .
Snijpunten bij: `x~~78,47` en `x~~254,86` .
De oplossing van de ongelijkheid is `78 lt x lt 255` .

De fabrikant moet tussen de `78` en `255` artikelen verkopen.

De periode is precies een jaar.

In deze periode staat de natuur vol in bloei en is er veel groen blad. Er wordt meer CO₂ omgezet in O₂ (zuurstof).

Minimaal `348` cm³ en maximaal `360` cm³.

Het totale volume van de lucht blijft min of meer gelijk. De planten beïnvloeden of er veel kooldioxide (dus weinig zuurstof) of weinig kooldioxide (of veel zuurstof) in de lucht zit.

Neem `K` voor het gehalte kooldioxide in p.p.m.v. Neem `t` in jaar en stel `t = 0` op 1 januari 1989. Trendlijn CO₂ gaat ongeveer door `352` p.p.m.v. in januari 1989 `t = 0` en `356` p.p.m.v. in januari 1992 ( `t = 3` ).
De richtingscoëfficiënt is `a = (ΔK)/(Δt) = (356 - 352)/(3 - 0) = 4/3 = 1 1/3` .
De formule voor de trendlijn wordt: `K = 1 1/3 t + 352` .

`t = 21` op 1 januari 2010 en dan is `K = 1 1/3*21 + 352 = 380` p.p.m.v.

Een dalende trend.

De trendlijn van de verhouding tussen zuurstof en stikstof gaat ongeveer door `text(-)80` in januari 1989 ( `t = 0` en `text(-)150` in januari 1993 ( `t = 4` ).
Neem `V` voor de afname van de verhouding zuurstof tot stikstof (per meg).
De richtingscoëfficiënt is `a = (ΔV)/(Δt) = (text(-)150 - text(-)80)/(4 - 0) = text(-)70/4 = text(-)17,5` .
De formule voor de trendlijn is: `V = text(-)17,5t - 80` .

`t = 23` op 1 januari 2012 geeft `V = text(-)17,5*23 - 80 = text(-)482,5` (per meg).

Er is een exponentieel groeimodel, dat kun je zien aan de punten die op enkellogaritmisch papier bij benadering een rechte lijn vormen.

Het aantal fruitvliegjes nadert de grenswaarde `350` . Waarschijnlijk komt dat doordat de leefruimte dan verzadigd is met fruitvliegjes. Er is hier sprake van geremde exponentiële groei.

Plot met de grafische rekenmachine de hellingsgrafiek `N'(x)` .
Voer in: `y_1 = 425/(1+162*0,78^x)` en `y_2 = (y_1(x+0,001)-y_1(x))/(0,001)` met `0 le x le 50` bij `0 le y le 100` .
Bepaal met de GR het maximum van de hellingsgrafiek, dit geeft `x~~20` en `y~~26` .
De helling is het steilst na `20` dagen.

Bekijk de tabel voor `x = 19` en `x = 20` of kijk naar de `y` -waarde die hoort bij de hellingsgrafiek.

Er komen die dag `26` fruitvliegjes bij.

Wanneer je voor `t` een heel groot getal invult in de formule, dan nadert `0,78^t` naar `0` .
Dus nadert `425/(1 + 162*0,78^t)` naar `425` .
De grafiek heeft een horizontale asymptoot `N = 425` . De grenswaarde is `425` fruitvliegjes.

`R = q(1200 - 3q) = 1200q - 3q^2`

`K = 10q`

`W = R - K = 1200q - 3q^2 - 10q = 1190q - 3q^2`

GR: `y_1 = 1190x-3x^2` met `0 le x le 400` en `0 le y le 150000` .
Maximum bij `x ~~ 198,33` en `y ~~ 118008,33` .
De maximale winst is ongeveer € 118008,33.

Neem `t` in maanden met `t = 0` op 1 maart 2014. Neem `A` voor het aantal werklozen.
Op 1 mei 2014 geeft de trendlijn 2100 werklozen aan.
Op 1 mei 2015 geeft de trendlijn `2350` werklozen aan.
`a = (ΔA)/(Δt) = (2350-2100)/(16-4) = 250/12 ~~ 20,83`
De formule van de trendlijn is: `A = 20,83t + b` .
Vul een punt in en bereken `b` .

De formule van de trendlijn is: `A = 20,83t + 2016,67` .

`t = 26` op 1 mei 2016 en dan `A = 20,83*26 + 2016,67 ~~ 2558` werklozen.

Mannetje: `S = (500 + 100^2)/(3,9) ~~ 2692` euro.
Vrouwtje: `S = (500 + 70^2)/(3,9) ~~ 1385` euro.
Gemiddelde schade: `(2*2692 + 1385)/3 ~~ 2260` euro.

`S`	`=`	`(500+G^2)/(3,9)`
`S`	`=`	`500/(3,9)+(G^2)/(3,9)`
`S`	`=`	`500/(3,9)+1/(3,9)*G^2`
`S`	`~~`	`128,21+0,26*G^2`

`a ~~ 128,21` en `b ~~ 0,26` .

De eerste top zit bij `30` seconden, de tweede top zit bij `90` seconden. De periode is `90-30=60` seconden.

Het hoogste punt is `40` meter, het laagste punt is `1` meter.
De evenwichtswaarde is `(40+1)/2 = 20,5` meter.
De amplitude is `40 - 20,5 = 19,5` meter.

De grafiek stopt bij `120` seconden. Aflezen gaat niet. Haal de periode net zo vaak van `260` af totdat je wel een waarde krijgt waarbij je de hoogte af kunt lezen uit de grafiek. `260 - 3*60 = 80` . Lees uit de grafiek af dat de hoogte na `80` seconden `30` meter is. Dan is de hoogte na `260` seconden ook `30` meter.

ongeveer `100^(0,30) ~~ 4`

`S = 3*A^(0,30) = 100` geeft `A = (100/3)^(1/(0,30))~~119196` mijl.
Dat is ongeveer `119196*1,6^2 ~~ 300000` km² (of nauwkeuriger).

Aflezen in de figuur geeft voor Jamaica `S~~100` en `A = 10^(3+(0,25)/(1,85))~~1365` vierkante mijl.
De formule geeft dan `S = 3*1365^(0,30)~~26` soorten. De figuur geeft er `74` meer.

Optie 1: `A = 400` geeft `S~~18` , er zijn `18` soorten.
Optie 2: `A = 200` geeft `S~~15` , er zijn `15 + 15 - 8 = 22` soorten.
Optie 2 wordt gekozen.

Ga uit van: `T(t) - 20 = b*g^t` en de grafiek gaat door `(0, 100)` , dit geeft:

`100-20`	`=`	`b*g^0`
`80`	`=`	`b*1`
`b`	`=`	`80`

De grafiek gaat ook door `(20, 21)` , dit geeft:

`21-20`	`=`	`80*g^20`
`80 *g^20`	`=`	`1`
`g^20`	`=`	`0,0125`
`g`	`=`	`0,0125^(1/20)`
`g`	`~~`	`0,80`

Een passende formule is: `T(t) = 20 + 80*0,80^t` .

GR: `y_1 = 20 + 80*0,8^x` met `0 le x le 30` bij `0 le y le 100` .
Het differentiaalquotiënt voor `x=12` is `(text(d)y)/(text(d)x) ~~ text(-)1,23` .
De afkoelsnelheid na twaalf minuten is ongeveer `1,23`  °C/minuut.

Als je de grafiek op enkellogaritmisch papier tekent, krijg je geen rechte lijn.
Dat komt omdat de horizontale asymptoot van deze grafiek niet bij `T = 0` ligt, maar bij `T = 20` .

Het vijf keer verrichten van handeling `A` kost `5*11,3 = 56,5` minuten.
Het vier keer verrichten van handeling `A` kost `4 *12,1= 48,4` minuten.
De vijfde keer kost `56,5 - 48,4 = 8,1` minuten.

Voer in: `y_1 = 0,14x^2 - 2x + 17,8` en bekijk de tabel op de GR.
Het grootste verschil vind je bij `n = 6` , dat verschil is `0,14` .

De gemiddelde handelingstijd moet steeds kleiner worden. De waarden van `H_n` worden weer groter, zodat de formule niet voldoet.

Voer in: `y_1 = 6+14,7*0,68^x` en bekijk de bijbehorende tabel op de GR.
Tel de waarden van `y` voor `x = 1` t/m `x = 10` bij elkaar op.
De som van deze handelingstijden is (ongeveer) `90,6` minuten.
De gemiddelde handelingstijd is (ongeveer) `9,1` minuten.

Als `n` heel groot wordt, dan wordt `0,68^n` ongeveer `0` .
`T_n = 6 + 14,7*0,68^n` wordt op den duur ongeveer `6` , maar blijft daar wel altijd boven.
Die grenswaarde is `6` .

`T_n` daalt voortdurend.
`H_n` , het gemiddelde van `T_1` tot en met `T_n` , is daarmee altijd groter dan de laatste waarde ( `T_n` ) van de verschillende termen `T_1` tot en met `T_n` .
De grafiek van `H_n` zal daarmee voor iedere waarde van `n` boven de grafiek van `T_n` liggen, waarmee de eerste bewering waar is.
`T_n` komt steeds dichter in de buurt van een bepaald getal (namelijk `6` , zie e). Er worden op den duur alleen maar (nagenoeg) dezelfde getallen aan de serie toegevoegd waarmee `H_n` wordt berekend. Het gemiddelde `H_n` zal daarmee op den duur ook steeds meer op datzelfde getal gaan lijken, zodat ook bewering 2 waar is.

1 januari 1996 is `t =1` .

Nederland:
GR: `y_1 = 81/(1+30*0,49^x)` met `0 le x le 10` bij `0 le y le 100` .
Het differentiaalquotiënt voor `x = 1` is `(text(d)y)/(text(d)x)~~3,45` .

Italië:
GR: `y_1 = 81/(1+10*0,49^x)` met `0 le x le 10` bij `0 le y le 100` .
Het differentiaalquotiënt voor `x=1` is `(text(d)y)/(text(d)x)~~8,13` .

In het begin is de helling van de grafiek van Italië groter dan die van Nederland, dan komt er een periode dat het wisselt. Vanaf 1999 is de helling van beide grafieken ongeveer gelijk. Daarna neemt de helling van de grafiek van Nederland toe ten opzichte van de helling van de grafiek van Italië.

`K = 89/ (T - 2) = 10 ` oplossen geeft `10,9`  °C.

De verticale asymptoot is `T = 2` ; de horizontale asymptoot is `K = 0` .

`(text(d)y)/(text(d(x))) ~~ text(-)2,47` . Als de temperatuur `8`  °C is, dan neemt de kiemtijd met `2,47` dagen af als de temperatuur met `1`  °C toeneemt.