Toepassen van formules > VeranderingenToepassen
In de Amerikaanse industrie is ooit onderzocht hoe snel werknemers leren wanneer ze een handeling vaker verrichten. Bij een groot aantal werknemers is bijgehouden hoeveel tijd ze nodig hadden om een bepaalde handeling voor de eerste keer te verrichten, hoeveel tijd voor de tweede keer, enzovoort. Zo bleken werknemers `16` minuten nodig te hebben om handeling `A` voor de eerste keer te verrichten. Bij de tweede keer was die handelingstijd `12,8` minuten. Wanneer een werknemer handeling `A` twee keer heeft uitgevoerd, is zijn gemiddelde handelingstijd `(16+12,8)/2 = 14,4` minuten. Deze waarde is weergegeven in de tabel. De andere waarden in de tabel zijn op een vergelijkbare manier berekend.
| aantal keren dat handeling `A` is verricht ( `n` ) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| gemiddelde handelingstijd in minuten | 16 | 14,4 | 13,1 | 12,1 | 11,3 | 10,7 |
Met de tabel kun je berekenen dat een werknemer `8,1` minuten nodig heeft om handeling `A` voor de vijfde keer te verrichten. Geef zo’n berekening.
Wanneer je de gemiddelde handelingstijd
`H_n`
wilt uitrekenen voor meer dan zes handelingen is het handig te beschikken over een
formule voor
`H_n`
.
Hiertoe zijn verschillende pogingen ondernomen. Eén zo'n poging resulteerde in de
formule:
`H_n = 0,14n^2 - 2n + 17,8`
Deze formule komt redelijk overeen met de gegevens van de tabel voor
`n = 1`
tot en met
`n = 6`
.
Bereken het grootste verschil tussen de uitkomsten uit de tabel en de bijbehorende waarden van `H_n` .
Voor grote waarden van `n` is de formule voor `H_n` niet geschikt om de gemiddelde handelingstijd te beschrijven. Leg uit waarom de formule voor `H_n` niet geschikt is.
Het is niet zo eenvoudig een formule voor
`H_n`
te vinden die wel voldoet. Toch kun je bijvoorbeeld de gemiddelde handelingstijd
na tien handelingen uitrekenen. Daarbij maak je gebruik van
`T_n`
, de tijd die een werknemer nodig heeft om handeling
`A`
voor de
`n`
-de keer te verrichten.
`T_n`
kan goed worden benaderd met de formule:
`T_n = 6 + 14,7*0,68^n`
.
In deze formule is
`T_n`
in minuten.
Deze formule levert
`T_1 ~~ 16`
en
`T_2 ~~ 12,8`
.
Met deze formule kun je ook andere handelingstijden uitrekenen en ook gemiddelde handelingstijden
berekenen.
Bereken hoe groot de gemiddelde handelingstijd is wanneer een werknemer tien keer handeling `A` heeft uitgevoerd.
Als je kijkt naar de formule
`T_n = 6 + 14,7*0,68^n`
, dan kun je constateren dat
`T_n`
steeds kleiner wordt als
`n`
groter wordt. Op de lange duur komt
`T_n`
echter niet onder een bepaalde grens.
Hoe groot is die grens? Licht je antwoord toe.
Bekijk de figuur met in één assenstelsel schetsen van de grafieken van de handelingstijd en de gemiddelde handelingstijd. Over deze figuur maakt iemand de volgende twee opmerkingen:
-
Een van beide grafieken zal altijd boven de andere grafiek liggen.
-
De twee grafieken komen steeds dichter bij elkaar en er zal op den duur geen verschil meer te zien zijn.
Door redeneren zonder rekenen kun je onderzoeken of deze opmerkingen waar zijn of
niet.
Onderzoek op deze wijze of deze beweringen waar zijn.
(bron: examen vwo wiskunde A1 in 2004, tweede tijdvak)
In de jaren negentig van de twintigste eeuw hebben steeds meer mensen een mobiele
telefoon aangeschaft. Om de ontwikkelingen te volgen kijken telefoonbedrijven vooral
naar het deelnamepercentage. Dat is het aantal abonnees met een mobiele telefoon in
een land, uitgedrukt als percentage van het aantal inwoners van dat land. Een benadering
voor het deelnamepercentage van Nederland is de formule:
`P_text(Nederland) = 81/(1 + 30*0,49^t)`
Hierin is
`P_text(Nederland)`
het deelnamepercentage van Nederland en
`t`
de tijd in jaar. Hierbij komt
`t = 0`
overeen met 1 januari 1995.
De formule van Italië is:
`P_text(Italië) = 81/(1 + 10*0,49^t)`
Hierin is
`t`
weer de tijd in jaar. Ook hier komt
`t = 0`
overeen met 1 januari 1995.
Bekijk de figuur met de grafieken van beide formules.
Bepaal de hellingen van de grafieken van Nederland en Italië op 1 januari 1996.
Uit de figuur blijkt dat het deelnamepercentage van Italië vanaf 1994 voortdurend groter is dan het deelnamepercentage van Nederland. Het verschil in het deelnamepercentage van Italië en dat van Nederland wordt in het begin alleen maar groter. Vanaf een zeker moment gaat Nederland zijn achterstand op Italië weer inlopen.
Op welk moment is dit het geval? Geef een toelichting.
(bron: examen vwo wiskunde A1 in 2006, eerste tijdvak)