Toepassen van formules > VeranderingenVoorbeeld 3
Een populatie fruitvliegjes leeft in een afgesloten ruimte met voldoende voedsel. Iedere vier dagen is het aantal fruitvliegjes geteld. Bekijk de tabel met de groei van het aantal fruitvliegjes. `N` is het aantal fruitvliegjes en `t` de tijd in dagen.
| `t` (dag) | 0 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 32 | 36 | 40 | 44 | 48 |
| `N(t)` | 2 | 5 | 10 | 22 | 47 | 91 | 156 | 226 | 282 | 317 | 335 | 343 | 347 |
Een passende formule voor de groei van het aantal fruitvliegjes is: `N(t) = 350/(1 + 174 *0,81^t)`
-
Na hoeveel dagen is de helling het steilst? Hoeveel fruitvliegjes komen er die dag bij?
-
Welke asymptoot heeft de grafiek van `N(t)` ? Wat is de praktische betekenis daarvan?
-
Plot met de grafische rekenmachine de hellingsgrafiek `N'(t)` .
Voer in: `y_1 = 350/(1 + 174*0,81^x)` en `y_2 = (y_1(x+0,001) - y_1(x))/(0,001)` .
Venster bijvoorbeeld: `0 le x le 50` bij `0 le y le 100` .Bepaal met het maximum van de hellingsgrafiek, dit geeft `x~~24` en `y~~18` . De helling is het steilst na `24` dagen, er komen dan `18` fruitvliegjes per dag bij.
-
Wanneer je voor `t` een heel groot getal invult in de formule, dan nadert `0,81^t` naar `0` . `1 + 174*0,81^t` nadert dan naar `1` en `350/(1 + 174*0,81^t)` nadert naar `350` .
De grafiek heeft een horizontale asymptoot `N=350` . Dit betekent dat de grenswaarde voor het aantal fruitvliegjes `350` is. Het aantal fruitvliegjes zal nooit boven die grenswaarde uitkomen.
Gebruik de gegevens uit
Teken de grafiek bij de tabel uit het voorbeeld op enkellogaritmisch papier.
Wat voor soort groeimodel hoort bij het begin van de grafiek?
Hoe komt het dat dit groeimodel later niet meer past bij de groei van het aantal fruitvliegjes?
Bij een ander soort fruitvliegjes past de formule:
`N(t) = 425/(1 + 162*0,78^t)`
.
Hierin is
`N`
het aantal fruitvliegjes en
`t`
de tijd in dagen.
Na hoeveel dagen komen er van dit soort de meeste fruitvliegjes bij?
Hoeveel fruitvliegjes komen er die dag bij?
Welke grenswaarde bereikt het aantal fruitvliegjes?