Logisch redeneren > Als-dan-redeneringenUitleg
Constructies van de vorm "als ..., dan..." komen in het dagelijks taalgebruik en in de wiskunde vaak voor. Bijvoorbeeld "Als ik een 6 haal voor mijn proefwerk, dan heb ik op mijn rapport gemiddeld een voldoende." Dit is een redenering van de vorm "als …, dan …" met daarin twee beweringen `P` en `Q` :
-
`P` : "Ik haal een 6 voor mijn proefwerk."
-
`Q` : "Ik heb op mijn rapport gemiddeld een voldoende."
Als-dan-redeneringen kun je schrijven als
`P rArr Q`
.
Het teken
`rArr`
betekent
"daaruit volgt"
en je noemt zo'n zin een implicatie.
| `P` | `Q` | `P rArr Q` |
| `1` | `1` | `1` |
| `1` | `0` | `0` |
| `0` | `1` | `1` |
| `0` | `0` | `1` |
Het is duidelijk dat de implicatie waar is als `P` en `Q` beiden waar zijn.
De implicatie is niet waar als `P` waar is en `Q` niet.
Lastiger wordt het als bewering
`P`
onwaar is. Toch is er dan geen reden om de waarheid van de implicatie in twijfel
te trekken. In dit geval haal je geen 6 voor je proefwerk. Dan kun je nog gemiddeld
een voldoende halen, maar je kunt ook gemiddeld een onvoldoende halen.
Beide beweringen kunnen best waar zijn en deze implicatie krijgt dan ook waarheidswaarde
`1`
als
`Q`
waar is en als
`Q`
onwaar is.
Dit levert deze waarheidstabel van de implicatie op.
Bekijk de waarheidstabel in
Waarom is `P rArr Q` gemakkelijk in te vullen in de gevallen waarin `P = 1` ?
Waarom is dit moeilijker in de gevallen waarin `P=0` ?
Leg uit waarom `P rArr Q` waarheidswaarde `1` heeft als `P = 0` en `Q = 0` .
Doe hetzelfde als `P = 0` en `Q = 1` .
Bekijk de redenering: "Als ik € 500 heb gespaard, dan ga ik op vakantie."
Geef de beweringen `A` en `B` waaruit deze redenering is opgebouwd.
Schrijf de redenering als implicatie.
Leg uit of de implicatie `A rArr B` waar of niet waar is als `A = 1` en `B = 0` .
Leg uit of de implicatie `A rArr B` waar of niet waar is als `A = 0` en `B = 0` .
Maak een waarheidstabel met daarin `A` , `B` , en `A rArr B` .