Verhoudingen > TotaalbeeldAntwoorden van de opgaven
De inhoud van de doos is `210*210*252 = 11113200` cm3.
De inhoud van de twaalf balken is `42*42*210*12 = 4445280` cm3.
Dat is `4445280/11113200*100 = 40` %.
(naar: pilotexamen wiskunde C in 2014, tweede tijdvak)
De zeshoek bestaat uit zes gelijkzijdige driehoeken met zijde `7` (de helft van de totale breedte). Hieruit volgt:
`h^2+(3 1/2)^2=7^2` , dus `h^2 = 49 - 12 1/4 = 36 3/4` en `h = sqrt(36 3/4) ~~ 6,062` .
De oppervlakte van de zeshoek is `6*(1/2*7*sqrt(36 3/4)) ~~ 127,31` cm2.
De inhoud is `~~127,31*38~~4838` cm3.
(naar: voorbeeldopgave Syllabus centraal examen wiskunde C 2018)
`ΔABC` is gelijkvormig met `ΔDBE` .
Noem de hoogte van de kleine kegel `x` , dan is de hoogte van de grote kegel `x+90` .
`ΔABC` is gelijkvormig met `ΔDBE` .
| `ΔABC` | `90+x` | `BC` | `32` |
| `ΔDBE` | `x` | `BE` | `23` |
Hieruit volgt: `32x = 23(90 + x)` en `x = 2070/9 = 230` .
`DB = 230` mm en `AB = 230 + 90 = 320` mm.
De inhoud van het bekertje is `1/3*pi *32^2*320 -1/3*pi *23^2*230 ≈ 215733` mm3 en dat is ongeveer `216` cm3 ofwel `216` mL.
De formule voor de oppervlakte van de kegelmantel is: `text(opp) = pi*r*sqrt(r^2 + h^2)` . Daarin is `h` de hoogte van de kegel en `r` de straal van de grondcirkel van de kegel.
De oppervlakte aan plastic is de oppervlakte van de grote kegelmantel min de oppervlakte van de kleine kegelmantel plus de oppervlakte van de bodem (cirkel).
`pi * 32 *sqrt(32^2 + 320^2) - pi * 23 *sqrt(23^2 + 230^2)+pi * 23^2 ≈ 17290` mm2.
Als de inhoud twee keer zo groot wordt, dan is de vergrotingsfactor `k=root(3)(2)` en dan wordt de oppervlakte `(root(3)(2))^2` keer zo groot.
Er kunnen `1000/(root(3)(2))^2` grote koffiebekers worden gemaakt. Afgerond naar beneden zijn dit `629` koffiebekers.
Bij de gelijkbenige driehoeken is de verhouding tussen de twee even lange zijden en de korte zijde een verhouding volgens de gulden snede: `(1,618)/1=1,618` . De verhouding is `varphi : varphi : 1` .
De oppervlakte van de vijfhoek is `1/4*sqrt(10*sqrt(5) + 25)*1^2 ~~ 1,7205` dm2.
Bereken nu de oppervlakte van de vijf gelijkbenige driehoeken.
De hoogte van zo'n driehoek is: `sqrt(1,618^2-0,5^2) ~~ 1,5388` dm.
De oppervlakte is `1/2*1*1,5388 ~~ 0,7694` .
Dit geeft voor de oppervlakte van het pentagram `1,7205 + 5*0,7696 ~~ 5,57` dm2.
De hoogte van het prisma is gelijk aan de lengte van de diagonalen van het pentagram: `h = 1,618+1+1,618 = 4,236` dm.
De inhoud pentagramprisma is `5,57*4,236 ~~ 23,6` dm3.
`h = varphi + 1 + varphi = 2varphi + 1`
`O = 1/2sqrt(varphi^2 - 0,25)`
`I = (2,5sqrt(varphi^2 - 0,25) + 1,72)*(2varphi + 1)`
Zie de figuur.
Elke zijde is `6` cm en hij bestaat uit zes gelijkzijdige driehoeken met een hoogte van `sqrt(6^2 - 3^2) = sqrt(27)` .
Dit geeft voor de oppervlakte van zo'n zeshoek `6 * 1/2 * 3 * sqrt(27) ~~ 46,77` cm2.
Die afstand is twee keer de hoogte van een gelijkzijdige driehoek, dus `2*sqrt(27) ~~ 10,4` cm.
Buitenkegel: `r = 0,75` m en `h = 3` m dus oppervlakte van de mantel is `pi * 0,75 * sqrt(0,75^2 + 3^2)` m2
Binnenkegel: `r = 0,25` m en `h = 3` m dus oppervlakte van de mantel is `pi * 0,25 * sqrt(0,25^2 + 3^2)` m2
Het totale oppervlak bestaat uit de `7/8` van de oppervlakte van de buitenmantel plus `7/8` van de oppervlakte van de binnenmantel, plus `7/8` van grondcirkel buitenkegel minus grondcirkel binnenkegel plus twee driehoeken met oppervlakte `1/2 * 0,50 * 3` . En nu maar rekenen...
De inhoud is `= 4/3 pi * 4^3 - 1/3pi (4 - sqrt(4^2-3^2))^2 * (3*4 - (4 - sqrt(4^2-3^2))) + pi * 3^2 * 3 ~~` ` 337,8` m3.
De oppervlakte is `= 2pi * 4 * (4 - sqrt(4^2-3^2) + 4) + 2pi * 3 * 3 ~~ 191,1` m3.
De inhoud van de kubus is `1` m3.
Voor de zuil geldt dat: `l = b` en dit geeft `l^2*4 = 1` .
Hieruit volgt: `l = sqrt(0,25) = 0,5` . De zuil is `0,5` m lang en breed.
`l^2 = 1000000/h` geeft `l = sqrt(1000000/h)` en `l = sqrt(1000000/(25n))` .
(naar: pilotexamen wiskunde C in 2013, eerste tijdvak)
De vergrotingsfactor is: `(0,12)/16 = 0,0075` .
De lengte is `0,0075*8000 = 60` cm en de hoogte is `0,0075*700 = 5,25` cm.
De inhoud is `12*60*5,25 = 3780` cm3.
Teken eerst een regelmatige zeshoek met zijden van `4,5` cm. Probeer of het mogelijk is om daar een rechthoek in te tekenen van `8` cm bij `1,6` cm. Dat lukt. Het is dus mogelijk.
Op de foto is de lengte van de kathedraal ongeveer `10/14` van de breedte van een raamdeel.
Dit komt overeen met een breedte van `(10/14)*2~~1,4` meter (op `10` meter afstand).
`(1,4)/10 = 136/x` waarin `x` de afstand tussen de kathedraal en de fotograaf is.
Dit geeft `x ~~ 971` meter en dat is inderdaad ongeveer `1` km.
(naar: pilotexamen wiskunde C in 2014, tweede tijdvak)