Matrices en grafen

Matrices en grafen > Matrixvermenigvuldiging

123456Matrixvermenigvuldiging

Verwerken

Opgave 9

Gegeven zijn de matrices:

$A = (\begin{matrix} 4 & 3 & 1 & 9 \\ 2 & 0 & 5 & 10 \\ 12 & 5 & 7 & 6 \end{matrix})$ , $B = (\begin{matrix} 5 & 2 \\ 0 & 4 \\ 1 & 7 \\ 8 & 3 \end{matrix})$ en $C = (\begin{matrix} 6 & 4 \\ 8 & 2 \end{matrix})$ .

Bereken indien mogelijk de volgende matrices:

$A \cdot B$ en $B \cdot A$

$B \cdot 0,5 \cdot C$

$C^{3}$

$C^{4} \cdot B$

$B + C$

Opgave 10

van	naar	prijs (in euro)
A	C	500
A	D	810
B	D	1020
B	E	598
C	F	390
C	G	612
D	F	185
D	G	142
E	G	420

Je ziet hier het aantal vluchten per dag tussen vliegvelden in drie verschillende landen in beeld gebracht. De tabel geeft de vluchttarieven tussen deze vliegvelden weer.

Stel een $2 \times 3$ -matrix $V_{1}$ op die het aantal dagelijkse vluchten van land I naar land II weergeeft.

Stel een matrix $V_{2}$ op die het aantal dagelijkse vluchten van land II naar land III weergeeft. Zorg ervoor dat $V_{2}$ zo wordt samengesteld, dat $V_{1} \cdot V_{2}$ betekenis heeft.

Bereken $V_{1} \cdot V_{2}$ en omschrijf de betekenis van die matrix.

Stel een $2 \times 3$ -matrix $T_{1}$ op die de vluchttarieven van land I naar land II beschrijft.

Stel een vluchttarievenmatrix $T_{2}$ op die de vluchttarieven van land II naar land III beschrijft.

Stel tenslotte een matrix op waarin je de vluchttarieven van land I via land II naar land III weergeeft. Kun je die matrix laten ontstaan door op $T_{1}$ en $T_{2}$ een matrixbewerking toe te passen?

Opgave 11

Veel mensen werken in een andere plaats dan ze wonen. Deze forensen gebruiken vaak de auto voor het woon-werkverkeer. Hier wordt een model van zo'n situatie geschetst, waarin vier steden en hun onderlinge verbindingswegen een rol spelen. De getallen geven de rij-afstanden in km weer.

De tabel geeft het aantal forensen weer dat 's morgens naar het werk gaat.

		naar
		A	B	C	D
van	A	0	400	350	200
	B	200	0	100	50
	C	150	200	0	100
	D	100	50	150	0

Stel een afstandenmatrix $M$ bij dit model op.

Stel een forensenmatrix $F$ op zo, dat de vermenigvuldiging $M \cdot F$ mogelijk is. Bereken $M \cdot F$ . Zijn er kentallen in deze matrix die betekenis hebben?

Bepaal het totaal aantal km dat deze forensen op één dag afleggen, ervan uitgaande dat ze allen na het werk weer via de kortste route naar huis teruggaan.

Als je alleen de benzinekosten rekent, hoeveel kost dit forensenverkeer dan elke dag? Ga ervan uit dat een auto gemiddeld $1 : 15$ rijdt en een liter benzine € 1,20 kost.

Er wordt een rechtstreekse verbinding met een nieuwe brug van B naar C aangelegd met een lengte van $50$ km. Hoeveel besparing in de dagelijkse benzinekosten levert dat op?

Opgave 12

Kijk nog eens naar de afstandenmatrix $M$ uit de voorgaande opgave. Een bepaald bedrijf dat in C is gevestigd heeft werknemers uit elk van deze vier plaatsen in dienst. Vanuit A werken er $150$ mensen bij dit bedrijf, er wonen $50$ werknemers in B en $100$ in D. Deze mensen rijden dagelijks heen en weer naar het bedrijf, dat de reiskosten voor hun woon-werkverkeer vergoedt. De $200$ werknemers die in C wonen, krijgen geen reiskosten vergoed.

Stel een matrix $W$ op voor het aantal werknemers van het bedrijf per plaats.

Vermenigvuldig de matrices $M$ en $W$ op de juiste manier. Welke betekenis heeft de productmatrix?

Hoe kun je nu vaststellen of het bedrijf zich beter in één van de drie andere plaatsen kan vestigen vanuit het oogpunt van de reiskostenvergoeding?

Opgave 13

Gebruik een willekeurige $3 \times 3$ -matrix $A = (\begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix})$ .
$E_{3}$ stelt de $3 \times 3$ -eenheidsmatrix voor.

Vermenigvuldig $A$ met $E_{3}$ . Wat gebeurt er? Maakt de volgorde waarin je vermenigvuldigt daarbij uit?

Verwissel in $E_{3}$ de tweede en de derde kolom. Je krijgt dan matrix $M_{1}$ . Bereken $M_{1} \cdot A$ en $A \cdot M_{1}$ . Verklaar beide resultaten.

Vervang in $E_{3}$ het kental in de eerste rij en de eerste kolom in een 2. Je krijgt dan matrix $M_{2}$ . Bereken $M_{2} \cdot A$ en $A \cdot M_{2}$ . Verklaar beide resultaten.

Je ziet dat je met matrixvermenigvuldiging, door $E_{3}$ op een geschikte wijze aan te passen, $A$ kunt veranderen in een matrix waarbij twee kolommen of twee rijen zijn verwisseld of waarbij één kolom of rij met een bepaald getal is vermenigvuldigd.

Experimenteer met je grafische rekenmachine en samen met een medeleerling. Verzin een paar regels voor dit verschijnsel.

Je wilt matrix $A$ veranderen in een matrix waarin de tweede kolom met $3$ wordt vermenigvuldigd en de laatste twee rijen zijn verwisseld. Is dat mogelijk met matrixvermenigvuldiging? Zo ja, laat dan zien hoe.

verder | terug