Omdat bij een overgang van $A$ naar $B$ vaak een ander percentage hoort dan die van $B$ naar $A$.

Zowel bij $S$ als bij $P$ zitten luswegen. Die geven aan welk percentage van $S$ naar $S$ dan wel van $P$ naar $P$ gaat, dus niet van het éne knooppunt naar het andere overgaat.

De percentages die vanuit een knooppunt overgaan moeten samen $100$, want het totaal in dat knooppunt, zijn. Die percentages zitten in een kolom.

De percentages die in een knooppunt samenkomen zijn percentages van andere knooppunten. Die percentages zitten in een rij.

Die bevolkingsmatrix moet een kolommatrix zijn. Je zou ook een andere keuze voor het "van" en het "naar" kunnen maken.

In 2005 wonen er in deze regio $35.575$ mensen op het platteland.

Reken door zoals in het voorbeeld wordt gedaan, met een GR gaat dat redelijk snel.

Controleer, dat `M*((57600),(38400)) = ((57600),(38400))` .

Na `31` jaar (doorrekenen op de eerste manier in het voorbeeld).

Juist omdat de decimalen blijven veranderen heb je pas zekerheid door een algebraïsche redenering.

Doen.

`25` klanten.

Hetzelfde merk gekocht: $15+25+20=60$ klanten. Gewisseld: $120-60=60$ klanten. Dus $50$%.

Denk om de luswegen in de graaf en let op de keuze voor "van..., naar..." in de matrix!
$W=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,75}& \mathrm{0,20}& \mathrm{0,30}\\ \mathrm{0,15}& \mathrm{0,50}& \mathrm{0,30}\\ \mathrm{0,10}& \mathrm{0,30}& \mathrm{0,40}\end{array}\right)$

De overgangsperiode is $1$ maand.

Na één maand: $B_1=\left(\begin{array}{c}\mathrm{0,235}\\ \mathrm{0,430}\\ \mathrm{0,335}\end{array}\right)$.

Gewoon doorrekenen levert $B_{\text{evenwicht}}=\left(\begin{array}{c}\mathrm{0,4940}\\ \mathrm{0,2825}\\ \mathrm{0,2235}\end{array}\right)$.

Het is natuurlijk beter om de evenwichtssituatie te berekenen met de methode van het Voorbeeld 2; nu krijg je alleen een benadering. Maar dan moet je wel een stelsel van drie vergelijkingen met drie onbekenden kunnen oplossen...

In de evenwichtssituatie zie je dat geen van de drie merken zal verdwijnen.

In de bedragen $640$, $480$, $3200$. Want $20$% van $800$ is $160$ en dat bedrag gaat er steeds van af als je geen schade claimt.

Je krijgt dan: `M * ((1000),(0),(0),(0)) = ((300),(700),(0),(0))` en `M * ((300),(700),(0),(0)) = ((300),(210),(490),(0))` en `M * ((300),(210),(490),(0)) = ((300),(210),(147),(343))` en die aantallen veranderen niet meer.

De gemiddelde premie over die `1000` klanten is `(300 * 800 + 210 * 640 + 147 * 480 + 343 * 320)//1000 = 554,72` euro.

Zonder claim betaal je de volgende drie jaren in het gunstigste geval $320+320+320=960$ euro aan premie (maar misschien moet je in die drie jaren een tweede claim indienen).
Met claim betaal je de volgende drie jaren $800+640+480=1920$ euro aan premie.
Na die drie jaren is de premie hetzelfde (als je niet claimt). Je kunt dus beter claimen, omdat het voordeel (in het gunstigste geval) nog $40$ euro is.

Wat er ook gebeurd is in de eerste twee jaar, in het derde jaar moet hij een schade claimen. De kans dat dit gebeurt is $30$%.

$M^2$ geeft de overgangskansen in een periode van twee jaar en $M^3$ die in een periode van $3$ jaar.

In $M^3$ zijn de overgangskansen van elke kolom hetzelfde. Dan is er dus een vaste overgangskans vanuit elke jaarpremie.

Bijvoorbeeld: `M=(({:0,40:}, {:0,20:}, {:0,20:}),({:0,30:}, {:0,40:}, {:0,30:}),({:0,30:}, {:0,40:}, {:0,50:}))` .

$P_0=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

`P_1 = M * P_0 = M * ((0),(0),(1)) = (({:0,20:}),({:0,30:}),({:0,50:}))` .
Dit zijn de kansen waar het dier zich na $1$ uur bevindt.

`P_2 = M * P_1 = (({:0,24:}),({:0,33:}),({:0,43:}))` .

Vanaf $n=7$, gewoon doorrekenen.

Uit de evenwichtssituatie blijkt: $25$% in $A$; $33$% in $B$ en $42$% in $D$.
Je kunt deze getallen exact vinden door `M * ((a),(b),(c)) = ((a),(b),(c))` met $a+b+c=1$ op te lossen.

De som van de kentallen in elke kolom is `100` .

$M=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,70}& \mathrm{0,30}& \mathrm{0,15}\\ \mathrm{0,20}& \mathrm{0,50}& \mathrm{0,60}\\ \mathrm{0,10}& \mathrm{0,20}& \mathrm{0,25}\end{array}\right)$ (Let op het "van..., naar..." .)

De verdeling van de ouders is: klasse A is $\frac{1400}{4800}\approx \mathrm{0,29}$ dus $29$%, klasse B is $54$% en klasse C is $17$%.
$M\cdot \left(\begin{array}{c}\mathrm{0,29}\\ \mathrm{0,54}\\ \mathrm{0,17}\end{array}\right)\approx \left(\begin{array}{c}\mathrm{0,39}\\ \mathrm{0,43}\\ \mathrm{0,18}\end{array}\right)$, dus één generatie verder: klasse A is $39$%, klasse B is $43$% en klasse C is $18$%.

Reken door met de percentages: `M * (({:0,29:}),({:0,54:}),({:0,17:})) = (({:0,3905:}),({:0,4300:}),({:0,1795:}))` en `M * (({:0,3905:}),({:0,4300:}),({:0,1795:}))~~ (({:0,4293:}),({:0,4008:}),({:0,1699:}))` , etc.
Maak bijpassende grafieken en je ziet de evenwichtssituatie ontstaan.

Zie de berekening bij d.

Klasse A: $\mathrm{45,9}$%; klasse B $\mathrm{37,8}$% en klasse C: $\mathrm{16,2}$%.
Je kunt deze getallen ook vinden door $M\cdot \left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)$ met $a+b+c=1$ op te lossen.

$A=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,60}& \mathrm{0,10}& \mathrm{0,10}\\ \mathrm{0,10}& \mathrm{0,80}& \mathrm{0,20}\\ \mathrm{0,30}& \mathrm{0,10}& \mathrm{0,70}\end{array}\right)$

Reken door met de aantallen: $A\cdot \left(\begin{array}{c}200\\ 200\\ 200\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}160\\ 220\\ 220\end{array}\right)$ en $A\cdot \left(\begin{array}{c}160\\ 220\\ 220\end{array}\right)\approx \left(\begin{array}{c}140\\ 236\\ 224\end{array}\right)$, etc.
Na $11$ stappen is er evenwicht bereikt.

$A^2=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,40}& \mathrm{0,15}& \mathrm{0,15}\\ \mathrm{0,20}& \mathrm{0,67}& \mathrm{0,31}\\ \mathrm{0,40}& \mathrm{0,18}& \mathrm{0,54}\end{array}\right)$.
Dit geeft de overgang in periodes van twee dagen.

Er ontstaat een stabiele situatie waarin bij toenemende $n$ de kentallen van $A^n$ niet meer veranderen.

Nee. Uit de matrix `A^n` kun je (voor `n` groot genoeg) aflezen dat `20` % van het aantal auto's in A op dag `0` plus `20` % van het aantal auto's in B op dag `0` plus `20` % van het aantal auto's in C op dag `0` ,op den duur in A staat. Dit is in feite `20` % van het totaal aantal auto's. Op den duur staat `45` % in B en `35` % in C.

Doen, er zijn nu luswegen.

$W=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,8}& \mathrm{0,5}& \frac{1}{3}\\ \mathrm{0,1}& \mathrm{0,5}& \frac{1}{3}\\ \mathrm{0,1}& 0& \frac{1}{3}\end{array}\right)$

Dat het op maandag zonnig is, kun je aangeven met de matrix: $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.
Naar woensdag zijn twee overgangen. Dus $W\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\mathrm{0,8}\\ \mathrm{0,1}\\ \mathrm{0,1}\end{array}\right)$ en $W\cdot \left(\begin{array}{c}\mathrm{0,8}\\ \mathrm{0,1}\\ \mathrm{0,1}\end{array}\right)\approx \left(\begin{array}{c}\mathrm{0,72}\\ \mathrm{0,16}\\ \mathrm{0,11}\end{array}\right)$.
De kans dat het woensdag weer zonnig is, is $72$%.

$W^2=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,72}& \mathrm{0,65}& \mathrm{0,54}\\ \mathrm{0,16}& \mathrm{0,30}& \mathrm{0,31}\\ \mathrm{0,11}& \mathrm{0,05}& \mathrm{0,14}\end{array}\right)$. Dit zijn de overgangen per twee dagen.

De kans op "zonnig" als de dag ervoor ook "zonnig" is, is $\mathrm{0,8}$. Dus P(zonnig,zonnig) $=\mathrm{0,8}\cdot \mathrm{0,8}=\mathrm{0,64}$. Dus $64$%.

1 of 2 dagen "zonnig" , dan zijn er vier mogelijkheden, namelijk:
P(zonnig – mist - zonnig) $=\mathrm{0,1}\cdot \mathrm{0,5}=\mathrm{0,05}$.
P(zonnig – regen – zonnig) $=\mathrm{0,1}\cdot \frac{1}{3}\approx \mathrm{0,0333}$
P(zonnig – zonnig – niet zonnig) $=\mathrm{0,8}\cdot \mathrm{0,2}=\mathrm{0,16}$.
P(zonnig – zonnig - zonnig) $=\mathrm{0,8}\cdot \mathrm{0,8}=\mathrm{0,64}$.
De totale kans is $\mathrm{0,8833}$. Dus ongeveer $88$%.

$S=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,99}& \mathrm{0,04}\\ \mathrm{0,01}& \mathrm{0,96}\end{array}\right)$

$S\cdot \left(\begin{array}{c}225\\ 1275\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}274\\ 1226\end{array}\right)$, dus $274$ leerlingen.

$S^2=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,98}& \mathrm{0,08}\\ \mathrm{0,02}& \mathrm{0,92}\end{array}\right)$. Dit zijn de overgangskansen per twee maanden.

$S^6\cdot \left(\begin{array}{c}225\\ 1275\end{array}\right)\approx \left(\begin{array}{c}483\\ 1017\end{array}\right)$. Omdat $\frac{483}{1500}\approx \mathrm{0,32}$ is het $32$%.

Je moet met de rekenmachine ver genoeg doorrekenen of $S\cdot \left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$ met $a+b=1500$ oplossen. Je vindt dat de evenwichtssituatie wordt: $300$ geen smartphone en $1200$ wel een smartphone.

P(bruikbaar - bruikbaar - niet bruikbaar) + P(bruikbaar - niet bruikbaar - bruikbaar) $=\mathrm{0,8}\cdot \mathrm{0,2}+\mathrm{0,2}\cdot \mathrm{0,6}=\mathrm{0,16}+\mathrm{0,12}=\mathrm{0,28}$.

$M^n$ geeft de overgangskansen na $n$ keer het fabricageproces te hebben uitgevoerd.

Op den duur is $75$% van de partijen bruikbaar.