Matrices en grafen

Matrices en grafen > Overgangsmatrices

123456Overgangsmatrices

Verwerken

Opgave 6

Wanneer een bepaald dier in een nieuw leefgebied terechtkomt, dan moet het zich aanpassen aan de omstandigheden. Er zijn plaatsen waar zo’n dier kan drinken en plaatsen waar het zijn voedsel vindt. Gedurende de dag zwerft het voortdurend tussen die plaatsen heen en weer, waarbij langzamerhand een vast patroon gaat ontstaan. De nachten blijven buiten beschouwing, omdat het dier dan niet actief is. Stel dat er één drinkplaats $D$ is en twee plaatsen om voedsel te halen, $A$ en $B$ . Een bioloog noteert steeds om het uur waar hij het dier aantreft, bij $D$ , bij $A$ of bij $B$ . Op grond daarvan maakt hij de graaf die je hiernaast ziet.

Maak bij deze graaf een overgangsmatrix $M$ .

Op zeker moment is het dier aan het drinken. Geef dit weer in een kolommatrix $P_{0}$ .

Bereken `P_1 = M * P_0` . Welke betekenis heeft de matrix $P_{1}$ ?

Bereken op dezelfde wijze de matrix $P_{2}$ .

Vanaf welke waarde van $n$ geldt dat op `4` decimalen nauwkeurig $M \cdot P_{n} = P_{n}$ ?

Hoeveel procent van zijn actieve tijd brengt het dier op den duur op elk van de plaatsen $D$ , $A$ en $B$ door?

Opgave 7

De aanleg tot het hebben van overgewicht blijkt van ouders op kinderen te worden overgedragen. Een onderzoeker heeft alle mensen in drie klassen verdeeld:

klasse A: mensen met overgewicht op hun 40ste;
klasse B: mensen met normaal gewicht op hun 40ste;
klasse C: mensen met ondergewicht op hun 40ste.

Op grond van onderzoek heeft zij het gewicht van ouders op hun 40ste vergeleken met dat van hun kinderen op hun 40ste en de volgende tabel gemaakt:

		Ouders
		A	B	C
Kinderen	A	70	30	15
	B	20	50	60
	C	10	20	25

Hoe kun je aan de tabel zelf zien dat het hier waarschijnlijk een tabel met percentages betreft?

Teken een overgangsgraaf en stel de bijbehorende overgangsmatrix op.

In een bepaalde regio wordt bij een bevolkingsonderzoek geconstateerd dat de verdeling van de ouders over de drie categorieën er als volgt uitziet:

klasse A: $1400$ personen;
klasse B: $2600$ personen;
klasse C: $800$ personen.

Hoe ziet de verdeling van hun kinderen over deze categorieën er een generatie later uit als de overgangsmatrix een geschikt model is voor de overdracht van overgewicht?

De percentages per categorie zullen in de loop van de generaties gaan veranderen. Je kunt daar grafieken bij maken, uitgaande van de percentages bij c. Maak een grafiek voor elk van de categorieën.

Zal er op den duur een evenwichtssituatie ontstaan? Zo ja, bereken dan de percentages per categorie op één decimaal nauwkeurig.

Opgave 8

Een autoverhuurbedrijf heeft in Nederland vele vestigingen. Gehuurde auto’s mogen op een andere vestiging worden teruggebracht. De bedrijfsleiding houdt bij hoe het verloop van de auto’s over de verschillende vestigingen is. Daarbij spelen matrices een rol.
In een model van deze situatie ga je bijvoorbeeld uit van drie vestigingen A, B en C. Stel dat voor de verschillende vestigingen per dag geldt:

vestiging A: `10` % van de aanwezige auto’s wordt in B ingeleverd, `30` % gaat naar C;
vestiging B: `10` % van de aanwezige auto’s wordt in A ingeleverd, `10` % gaat naar C;
vestiging C: `10` % van de aanwezige auto’s wordt in A ingeleverd, `20` % gaat naar B.

Teken voor dit model een graaf en stel een bijpassende overgangsmatrix $A$ op.

Ga uit van een beginsituatie van $200$ auto’s per vestiging. Onderzoek of er na verloop van tijd een evenwichtssituatie ontstaat en bereken voor de evenwichtssituatie het aantal auto’s per vestiging.

Bereken $A^{2}$ . Welke betekenis heeft deze matrix?

Bereken $A^{3}, A^{4}, A^{5}, ...$ en rond (achteraf!) de kentallen van deze matrices af op twee decimalen nauwkeurig. Wat zie je op den duur gebeuren met de machten van matrix $A$ ?

Is het ontstaan van evenwicht afhankelijk van de beginsituatie? Licht je antwoord toe.

Opgave 9

De weerman uit Santa Barbara in de Verenigde Staten onderscheidt in het voorjaar drie soorten dagen: zonnige dagen, mistige dagen en regenachtige dagen. Hij heeft uit onderzoek afgeleid dat er verband bestaat tussen het weer op twee opeenvolgende dagen. Het schema hiernaast met overgangskansen geeft dat weer.

Teken een graaf waarin alleen de drie knooppunten $Z$ voor zonnige dag, $M$ voor mistige dag en $R$ voor regenachtige dag voorkomen en waarin alle overgangskansen staan beschreven.

Stel de bijpassende overgangsmatrix $W$ op.

Het is maandag zonnig in Santa Barbara. Je wilt de kansen voor de rest van die week berekenen.

Hoe groot is de kans dat het woensdag weer zonnig is?

Bereken $W^{2}$ . Wat stelt deze matrix voor?

Hoe groot is de kans dat het dinsdag èn woensdag zonnig is?

Hoe groot is de kans dat het minstens één van deze beide dagen zonnig is?

verder | terug