Matrices en grafen

Matrices en grafen > Overgangsmatrices

Overzicht

123456Overgangsmatrices

Voorbeeld 1

Het volgende wiskundige model beschrijft de migratie in een bepaald gebied:

Jaarlijks verhuist $20$ % van de mensen die in stedelijke gebieden wonen naar het platteland.
Jaarlijks verhuist $30$ % van de mensen die op het platteland wonen wonen naar een stedelijke omgeving.
De migratie van en naar buiten dit gebied is te verwaarlozen.

Bij de migratiegraaf past deze migratiematrix $M$ . In het jaar 2000 wonen in dit gebied $84000$ mensen in de stad en $12000$ mensen op het platteland.
Hoeveel zijn dat er in 2020?

> antwoord

$B_{2001} = M \cdot B_{2000} = M \cdot (\begin{matrix} 84000 \\ 12000 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 70800 \\ 25200 \end{matrix})$ en $B_{2002} = M \cdot B_{2001} = M \cdot (\begin{matrix} 70800 \\ 25200 \end{matrix})$ enzovoorts...

Sneller is: $B_{2020} = M^{20} \cdot B_{2000} = M^{20} \cdot (\begin{matrix} 84000 \\ 12000 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 57600 \\ 38400 \end{matrix})$ .

Het eindresultaat is afgerond op gehelen.
Van verstedelijking is in dit geval geen enkele sprake...

Opgave 2

Bestudeer het model van de migratie in Voorbeeld 1.

Laat zien, dat je door doorrekenen met de gegeven matrix de evenwichtssituatie krijgt die in het voorbeeld wordt gegeven.

Na $20$ jaar is afgrond op gehelen de evenwichtssituatie benaderd.

Na hoeveel jaar verschilt de evenwichtssituatie minder dan $0,00001$ van de werkelijke evenwichtssituatie met $S=57600$ en $P=38400$ ?

verder | terug