Matrices en grafen

Matrices en grafen > Overgangsmatrices

123456Overgangsmatrices

Voorbeeld 2

Bekijk in de figuur de migratie in Voorbeeld 1 nog eens.
Onderzoek of de verdeling van het aantal mensen in stedelijke gebieden en het aantal mensen op het platteland naar een evenwichtssituatie toegroeit op den duur.

> antwoord

Dit geldt als er een matrix $(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix})$ bestaat zo, dat $(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}) = M \cdot (\begin{matrix} a \\ b \end{matrix})$ .

Met de gegeven matrix $M$ betekent dit: $0,8 a + 0,3 b = a$ en $0,2 a + 0,7 b = b$ . Uit elk van deze twee vergelijkingen volgt: $0,2 a = 0,3 b$ ofwel $a = 1,5 b$ .
Omdat $a + b = 84000 + 12000 = 96000$ is $2,5 b = 96000$ en dus $b = 38400$ . Dan is $a = 96000 - 38400 = 57600$ . Kennelijk ontstaat er op den duur een evenwichtssituatie.

Opgave 3

Bestudeer het model van de migratie in Voorbeeld 1 nog eens goed.

Waarom is een berekening zoals in Voorbeeld 2 nodig om echt zeker te weten dat er evenwicht ontstaat?

Voer die berekening zelf nog eens uit.

Opgave 4

Een supermarkt verkoopt twee merken waspoeder, Bright en Shine. Er wordt een derde merk geïntroduceerd, met de naam White. Dit nieuwe merk zou op den duur één van beide andere merken moeten vervangen. De bedrijfsleiding is dan ook erg geïnteresseerd in het koopgedrag van de consument. Er wordt aan $120$ klanten die al hun waspoeder kopen bij deze supermarkt gevraagd naar hun koopgedrag. Daarbij blijkt dat ze gemiddeld een maand doen met een groot pak waspoeder van een bepaald merk en dan aan het einde van die maand een nieuw pak aanschaffen. De volgende tabel geeft de wisseling van merken weer:

		Volgende maand
		W	S	B	totaal
Deze maand	W	15	3	2	20
	S	10	25	15	50
	B	15	15	20	50
	totaal	40	43	37	120

Hoeveel van deze klanten hebben in beide maanden waspoeder van het merk Shine gekocht?

Hoeveel procent van de klanten is van merk gewisseld?

Stel voor de overgangen van het éne merk naar het andere een graaf en een overgangsmatrix $W$ op.

Welke overgangsperiode kent de graaf?

De bedrijfsleiding gaat ervan uit dat deze overgangen voor de komende maanden blijven gelden.

Neem aan, dat aanvankelijk de verdeling voor de merken Bright en Shine als volgt was: `35` % van de klanten koopt Bright en `65` % van de klanten koopt Shine.

De beginsituatie bij de introductie van het merk White is dan: $B_{0} = (\begin{matrix} 0 \\ 0,65 \\ 0,35 \end{matrix})$ .

Bereken de verdeling van de klanten over de drie verschillende merken een maand later.

Onderzoek of er een evenwichtssituatie ontstaat en bereken de verdeling van de klanten over de drie merken waspoeder in de evenwichtssituatie.

Kan het nieuwe waspoeder inderdaad één van beide andere merken vervangen?

verder | terug