Matrices en grafen

Matrices en grafen > Overgangsmatrices

123456Overgangsmatrices

Testen

Opgave 10

Toen de smartphone werd geïntroduceerd groeide het aantal jongeren dat in het bezit is van zo’n apparaat snel. Op een scholengemeenschap van $1500$ leerlingen hebben leerlingen in 2010 het toenemend bezit van de smartphone onderzocht.

Bij de start van het onderzoek bleek $15$ % van de leerlingen een smartphone te hebben.
Van het aantal leerlingen dat geen smartphone had, bleek een maand later $4$ % er wel een te hebben.
Van het aantal leerlingen dat wel een smartphone had, bleek een maand later $1$ % geen smartphone meer te hebben.

Maak hierbij een graaf en een overgangsmatrix $S$ .

Hoeveel leerlingen hebben één maand na de start van het onderzoek een smartphone?

Bepaal $S^{2}$ en leg uit welke betekenis deze matrix heeft.

Ga ervan uit dat de overgangsmatrix $S$ ook nog na het onderzoek beschreef hoe het aantal smartphonebezitters in de loop van een maand veranderde.

Hoeveel procent van de leerlingen had na een half jaar een smartphone?

Na verloop van tijd ontstaat er een evenwichtssituatie als het aantal leerlingen van de school niet verandert. Hoeveel leerlingen hebben er in die evenwichtssituatie nog geen smartphone?

Opgave 11

Een bepaald medicijn wordt gefabriceerd in een reactievat. De kwaliteit van het medicijn is bij de fabricage moeilijk onder controle te houden. Als er een kleinigheid misgaat in het reactievat is de gefabriceerde partij onbruikbaar. Hoewel het reactievat na elke onbruikbare partij grondig wordt gereinigd, kunnen minieme achtergebleven resten van invloed zijn op de fabricage van de volgende partij. Voor het fabricageproces gelden de volgende kansen:

		partij is
		onbruikbaar	bruikbaar
volgende partij is	onbruikbaar	0,4	0,2
	bruikbaar	0,6	0,8

Een bepaalde partij is bruikbaar. Hoe groot is de kans dat precies één van de eerstvolgende twee partijen onbruikbaar is?

$M$ is de overgangsmatrix die de kansen beschrijft op de bruikbaarheid of onbruikbaarheid van de volgende partij. Wat stelt de matrix $M^{n}$ dan voor?

Bij toenemende waarden van $n$ nadert de matrix $M^{n}$ een bepaalde evenwichtssituatie. Hoeveel procent bruikbare partijen zullen er op den duur worden gefabriceerd?

verder | terug