Nee, want de kentallen van een overgangsmatrix zijn overgangskansen en kunnen dus alleen waarden van $0$ t/m $1$ aannemen. In een Leslie-matrix komen ook geboortecijfers voor en dat kunnen getallen groter dan $1$ zijn.

De getallen op de eerste rij stellen dan de overgangen van even oude of oudere generaties naar jongere voor, dat kan alleen door geboortes.

$\mathrm{0,2}$

$\mathrm{0,2}\cdot \mathrm{0,04}=\mathrm{0,008}$

$L\cdot \left(\begin{array}{c}2000\\ 600\\ 80\end{array}\right)$ en dan doorrekenen...

`2` jaar.

Maximaal `8` jaar.

De getallen op de eerste rij van de populatievoorspellingsmatrix.

P(om 6 jaar te worden) $=\mathrm{0,5}\cdot \mathrm{0,4}\cdot \mathrm{0,2}=\mathrm{0,04}$.

`7` jaar hoort tot de klasse `6 - 8` . Dus steeds periodes van twee jaar.

$L^2$ is de voorspellingsmatrix met een periode van $4$ jaar en $L^3$ is de voorspellingsmatrix met een periode van $6$ jaar.

Over twee jaar: $P_{2002}=L\cdot \left(\begin{array}{c}590\\ 360\\ 200\\ 80\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1608\\ 295\\ 144\\ 40\end{array}\right)$ en $P_{2004}=L\cdot \left(\begin{array}{c}1608\\ 295\\ 144\\ 40\end{array}\right)\approx \left(\begin{array}{c}1276\\ 804\\ 118\\ 29\end{array}\right)$.
Als je verder doorrekent zie je de populatie groeien.

Je neemt aan dat zowel de geboortecijfers als de overlevingskansen constant zijn.

Doen. Ga na, dat je dezelfde waarden vindt als in het voorbeeld. Je kunt het stelsel vergelijkingen ook oplossen zonder de GR te gebruiken.

$L=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 3& 0\\ \mathrm{0,8}& 0& 0& 0\\ 0& \mathrm{0,4}& 0& 0\\ 0& 0& \mathrm{0,1}& 0\end{array}\right)$

`L*P_(2004) = ((2032),(1504),({:371,2:}),({:36,8:}))` , de totale populatie in 2006 is dus `3944` .

In 2008 is dat (afgerond op gehelen) `4883` . En ga zo door...

De populatie gaat snel groeien.

$\mathrm{0,8}\cdot 1+\mathrm{0,8}\cdot \mathrm{0,4}\cdot 3=\mathrm{1,76}$

$L=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 8\\ \mathrm{0,5}& 0& 0\\ 0& \mathrm{0,25}& 0\end{array}\right)$

Een jonge plant moet dan in de oudste groep terecht komen. De kans daarop is: $\mathrm{0,5}\cdot \mathrm{0,25}=\mathrm{0,125}$. Dus $\mathrm{12,5}$%.

Er ontstaan periodieke grafieken met een periode van $3$ jaar.

De Leslie-matrix is $L=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 2& 0\\ \mathrm{0,4}& 0& 0& 0\\ 0& \mathrm{0,3}& 0& 0\\ 0& 0& \mathrm{0,2}& 0\end{array}\right)$.
Doorrekenen geeft $\left(\begin{array}{c}100\\ 100\\ 100\\ 100\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}300\\ 40\\ 30\\ 20\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}100\\ 120\\ 12\\ 6\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}144\\ 40\\ 36\\ \mathrm{2,4}\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}112\\ \mathrm{57,6}\\ 12\\ \mathrm{7,2}\end{array}\right)$, etc.
De kudde sterft langzaam uit.

Na $33$ overgangen is de kudde uitgestorven. Dus na $33\cdot 5=165$ jaar.

Na $15$ jaar is de samenstelling van de kudde $\left(\begin{array}{c}100\\ 120\\ 12\\ 6\end{array}\right)$ en de Leslie-matrix wordt $L=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 2& 0\\ \mathrm{0,8}& 0& 0& 0\\ 0& \mathrm{0,6}& 0& 0\\ 0& 0& \mathrm{0,4}& 0\end{array}\right)$.
Nu doorrekenen en je zult zien dat de populatie gaat groeien.

Doordat er minder roofdieren zijn krijgen de dieren uit de kudde meer rust, waardoor de geboortecijfers waarschijnlijk omhoog gaan.

De veranderingen hebben plaatsgevonden na $15$ jaar. De populatievoorspellingsmatrix wordt: $L=\left(\begin{array}{cccc}0& 2& 2& 2\\ \mathrm{0,8}& 0& 0& 0\\ 0& \mathrm{0,6}& 0& 0\\ 0& 0& \mathrm{0,4}& 0\end{array}\right)$.
Nu doorrekenen: $\left(\begin{array}{c}100\\ 120\\ 12\\ 6\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}276\\ 80\\ 72\\ \mathrm{4,8}\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}\mathrm{313,6}\\ \mathrm{220,8}\\ 48\\ \mathrm{28,8}\end{array}\right)$, etc.
Bepaal de totalen: $432$, $612$, $997$, $1465$, etc. (Afgerond op gehele getallen.)
Door de quotiënten te bepalen, zie je dat de groeifactor ongeveer $\mathrm{1,5}$ is.

Die kansen zijn gemiddeld ongeveer $\mathrm{0,44}$, $\mathrm{0,36}$, $\mathrm{0,13}$ en $0$.

$L=\left(\begin{array}{ccccc}\mathrm{0,25}& \mathrm{1,97}& \mathrm{0,09}& 0& 0\\ \mathrm{0,44}& 0& 0& 0& 0\\ 0& \mathrm{0,36}& 0& 0& 0\\ 0& 0& \mathrm{0,13}& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$

$56$% van de laagste groep overleeft deze groep niet.

Neem de cijfers van 1980 en pas daar L op toe om de cijfers voor 2000 te krijgen.
$P_{2000}=L\cdot \left(\begin{array}{c}\mathrm{27,8}\\ \mathrm{11,9}\\ \mathrm{3,8}\\ \mathrm{0,5}\\ \mathrm{0,0}\end{array}\right)\approx \left(\begin{array}{c}\mathrm{30,7}\\ \mathrm{12,2}\\ \mathrm{4,3}\\ \mathrm{0,5}\\ \mathrm{0,0}\end{array}\right)$ en $P_{2000}=L\cdot \left(\begin{array}{c}\mathrm{30,7}\\ \mathrm{12,2}\\ \mathrm{4,3}\\ \mathrm{0,5}\\ \mathrm{0,0}\end{array}\right)\approx \left(\begin{array}{c}\mathrm{32,2}\\ \mathrm{13,5}\\ \mathrm{4,4}\\ \mathrm{0,6}\\ \mathrm{0,0}\end{array}\right)$

De totalen zijn achtereenvolgens $\mathrm{32,2}$, $\mathrm{35,3}$, $\mathrm{37,3}$, $\mathrm{41,1}$, $\mathrm{44,0}$, $\mathrm{47,8}$ en $\mathrm{50,8}$. Dus de groeifactoren zijn $\mathrm{1,10}$, $\mathrm{1,06}$, $\mathrm{1,10}$, $\mathrm{1,07}$, $\mathrm{1,08}$ en $\mathrm{1,06}$. De gemiddelde groeifactor is $\mathrm{1,08}$.

$N\left(t\right)=\mathrm{44,0}\cdot {\mathrm{1,08}}^t$ met $t$ in perioden van $20$ jaar en $t=0$ voor 1980. Los dan op: ${\mathrm{1,08}}^t=2$. Je vindt $t\approx \mathrm{9,0}$. Dus na ongeveer $180$ jaar. In 2160.

$L=\left(\begin{array}{ccccccc}0& \mathrm{1,4}& \mathrm{2,1}& \mathrm{1,6}& \mathrm{1,4}& \mathrm{1,1}& \mathrm{1,0}\\ \mathrm{0,36}& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& \mathrm{0,45}& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& \mathrm{0,43}& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& \mathrm{0,35}& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& \mathrm{0,30}& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& \mathrm{0,20}& 0\end{array}\right)$

Totaal in 1990: $2022$ en totaal in 1991: $2005$. De afwijking is $\frac{17}{2022}\approx \mathrm{0,0084}$ en dat is minder dan $1$%.

Neem $100$ jonge vogels. $36$ van dit aantal wordt eenjarig en zorgen voor $36\cdot \mathrm{1,4}=\mathrm{50,4}$ jonge vogels. Het vervangingscijfer is dan $\mathrm{0,504}$.

Ga uit van $100$ jonge vogels.
0-jarige: $100$ vogels. Geen jonge vogels.
1-jarige: $100\cdot \mathrm{0,36}=36$ vogels. Aantal jonge vogels: $36\cdot \mathrm{1,4}\approx 50$.
2-jarige: $36\cdot \mathrm{0,45}\approx 16$ vogels. Aantal jonge vogels: $\mathrm{16,2}\cdot \mathrm{2,1}\approx 34$.
3-jarige: $16\cdot \mathrm{0,43}\approx 7$ vogels. Aantal jonge vogels: $\mathrm{7,0}\cdot \mathrm{1,6}\approx 11$.
4-jarige: $7\cdot \mathrm{0,35}\approx 2$ vogels. Aantal jonge vogels: $\mathrm{2,4}\cdot \mathrm{1,1}\approx 3$.
5-jarige: $2\cdot \mathrm{0,30}\approx 1$ vogels. Aantal jonge vogels: $\mathrm{0,6}\cdot \mathrm{1,0}\approx 1$.
6-jarige: $1\cdot \mathrm{0,20}\approx 0$ vogels. Aantal jonge vogels: $0$.
Totaal aantal jonge vogels $99$. $100$ vogels brengen dit aantal voort. Het vervangingscijfer is $\frac{99}{100}\approx 1$.

$\frac{1}{2}=2-\frac{N_t}{2000}$ geeft $\frac{3}{2}=\frac{N_t}{2000}$ en dus $N_t=3000$.

$k=2-\frac{2022}{2000}=\mathrm{0,989}$. De vruchtbaarheid in het derde jaar was $\mathrm{1,6}$. Deze factor wordt nu $\mathrm{1,58}$, blijft dus ongeveer $\mathrm{1,6}$.
Van de $1400$ nuljarigen haalt $1400\cdot \mathrm{0,36}\cdot \mathrm{0,45}\approx 227$ zijn derde levensjaar en die zorgen voor $\mathrm{226,8}\cdot \mathrm{1,58}\approx 358$ nakomelingen.

$P=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ \mathrm{0,75}& 0& 0\\ 0& \mathrm{0,75}& 0\end{array}\right)$

$P^2$ geeft de populatievoorspelling over een periode van $8$ jaar. $P^3$ geeft de populatievoorspelling over een periode van $12$ jaar.

$P\cdot \left(\begin{array}{c}200\\ 100\\ 50\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}200\\ 150\\ 75\end{array}\right)$

Doorrekenen geeft een populatiegrootte is van: $350$, $425$, $563$, $713$, $900$, $1168$, $1476$, $1888$, $2421$, $3077$, $3939$,...
Maak een grafiek.

Lijkt exponentieel met groeifactor ongeveer $\mathrm{1,28}$.

P(4 jaar) = $\mathrm{0,25}$
P(8 jaar) = $\mathrm{0,75}\cdot \mathrm{0,25}=\mathrm{0,1825}$
P(12 jaar) = $\mathrm{0,75}\cdot \mathrm{0,75}=\mathrm{0,5625}$
De verwachting is `4 * 0,25 + 8 * 0,1825 + 12 * 0,5625 ~~ 9,21` jaar.

Op `t = 2` is de populatie `P * ((200),(150),(75)) = ((300),(150),({:112,5:}))` , dat zijn in totaal `562,5` dieren.

Nu is `P_k * ((300),(150),({:112,5:})) = ((375),(225k),({:112,5k:}))` met een totaal van `375+337,5k` dieren.

Zolang `375+337,5k ge 562,5` zal de soort niet langzaam uitsterven, dus `k ge 0,56` .