Matrices en grafen

Matrices en grafen > Populatiematrices

123456Populatiematrices

Verwerken

Opgave 5

Een kudde antilopen bestaat uit dieren van vier generaties. De generatieduur is ongeveer $5$ jaar. Hun weidegebied is dichtbevolkt met roofdieren. Een bioloog heeft op basis van observaties een graaf opgesteld die de geboortecijfers en de overlevingskansen van de kudde antilopen weergeeft. Stel je voor dat elke generatie in de kudde op zeker moment uit $100$ dieren bestaat.

Laat zien dat er geen sprake is van een natuurlijk evenwicht.

Na hoeveel jaar is de kudde in dit model uitgestorven?

Na $15$ jaar wordt er besloten om het aantal roofdieren in het leefgebied van de kudde antilopen zodanig te verminderen dat hun overlevingskansen verdubbelen. Onderzoek of het verdubbelen van de overlevingskansen het uitsterven van de kudde antilopen zal voorkomen.

Na verdere observatie blijken ook de geboortecijfers van de kudde te worden beïnvloed door de afname van het aantal roofdieren. Geef daarvoor een verklaring.

Ga uit van de situatie bij d, maar neem aan dat de geboortecijfers meteen zodanig veranderen dat alle dieren ouder dan $5$ jaar gemiddeld voor $2$ nakomelingen kunnen zorgen.

Onderzoek nu hoe het verloop van de aantallen dieren per generatie de komende jaren zal zijn. Maak een passende grafiek voor het totaal aantal dieren in de loop der jaren. Is er sprake van exponentiële groei van de populatie? Zo ja, bepaal dan de groeifactor.

Opgave 6

Van een ontwikkelingsland zijn de volgende bevolkingsgegevens bekend:

leeftijdscategorie	1900	1920	1940	1960	1980
`0 - lt 20`	19,8	22,8	23,5	26,4	27,8
`20 - lt 40`	8,9	8,9	10,2	10,6	11,9
`40 - lt 60`	3,2	3,2	3,2	3,7	3,8
`60 - lt 80`	0,3	0,4	0,4	0,4	0,5
`ge 80`	0,0	0,0	0,0	0,0	0,0

De aantallen in deze tabel zijn in miljoenen.
Het gemiddeld aantal kinderen per hoofd van de bevolking is:

leeftijdscategorie	kinderen
`0 - lt 20`	0,25
`20 - lt 40`	1,97
`40 - lt 60`	0,09
`60 - lt 80`	0,00

Bereken op grond van de eerste tabel de kansen dat iemand van een bepaalde leeftijdscategorie overgaat naar de volgende.

Stel een Leslie-matrix op voor dit ontwikkelingsland.

Waaraan kun je zien dat de sterfte onder kinderen in dit land hoog is?

Voorspel de bevolkingssamenstelling van dit land in 2000 en 2020.

De bevolking van dit land lijkt steeds sneller te groeien. Toon aan dat dit bij benadering exponentieel gebeurt in de periode van 1900 tot 2020.

Bereken het jaar waarin de totale bevolking precies twee keer zo groot zal zijn als in 1980 als je uitgaat van een zuiver exponentieel groeimodel.

Opgave 7

Bij een uitgebreid onderzoek naar de groei van vogelpopulaties stelden Amerikaanse biologen vast dat onder bepaalde omstandigheden de groei van een populatie roodborstjes beschreven kan worden met een model dat in de graaf hieronder is weergegeven.

Uit deze graaf kan onder andere worden afgelezen dat $45$ % van de eenjarige roodborstjes de tweejarige leeftijd bereikt en dat $100$ eenjarige vogels per jaar gemiddeld $140$ jongen voortbrengen. Ook blijkt uit de graaf dat de vogels de leeftijd van zeven jaar niet bereiken.

Stel een bijpassende populatievoorspellingsmatrix op.

Een populatie waarvoor de voorgaande gegevens gelden, bestond op 1 juli 1990 (tijdstip $t = 0$ ) uit $2022$ roodborstjes. De tabel geeft de verdeling over de verschillende leeftijden weer.

leeftijd	0	1	2	3	4	5	6
roodborstjes	1250	440	200	80	30	20	2

Onderzoek of het totale aantal roodborstjes op 1 juli 1991 ( $t = 1$ ) volgens dit model minder dan $1$ % afwijkt van het totale aantal op 1 juli 1990.

Onder het vervangingscijfer versta je de verwachtingswaarde van het aantal jongen dat een roodborstje gedurende het hele leven krijgt. Hoe groot zou dit vervangingscijfer zijn als geen enkel roodborstje de tweejarige leeftijd zou bereiken?

Toon aan dat het vervangingscijfer in het door de graaf beschreven model ongeveer gelijk is aan $1$ .

Uit voortgezet onderzoek bleek dat de in de graaf vermelde overlevingskansen onafhankelijk zijn van de populatieomvang, maar dat de in de graaf vermelde vruchtbaarheidscijfers slechts gelden voor een populatie die in totaal ongeveer `2000` roodborstjes telt. Op grond van hun tellingen veronderstelden de onderzoekers dat het model als volgt bijgesteld moest worden: voor de overgang van tijdstip $t$ naar tijdstip $t + 1$ moeten alle vruchtbaarheidscijfers uit de graaf vermenigvuldigd worden met een factor $k$ die afhangt van de populatieomvang $N_{t}$ op tijdstip $t$ :

$k = 2 - \frac{N_{t}}{2000}$

Bereken voor welke populatieomvang deze bijstelling leidt tot een halvering van de vruchtbaarheidscijfers in vergelijking met die van het oorspronkelijke model.

De volgende tabel is verkregen door een computer volgens het bijgesteld model de aantallen op de tijdstippen $t = 1, 2, ..., 10$ te laten berekenen.

Bereken hoeveel jongen de groep van $1400$ nuljarigen van tijdstip $t = 0$ volgens het bijgestelde model in hun derde levensjaar zal voortbrengen. Neem totaal 2022 en ga uit van de situatie in 1990.

verder | terug