Matrices en grafen > Totaalbeeld
123456Totaalbeeld

Toepassen

Opgave 6Nieuwe supermarkt
Nieuwe supermarkt

In een zekere stad komt een nieuwe supermarkt C naast de bestaande A en B. Deze nieuwe supermarkt zal de bestaande gaan beconcurreren. De inwoners van deze stad zullen een nieuw kooppatroon gaan ontwikkelen.

  • Sommige mensen zullen (zeker als ze er vlak bij wonen) de nieuwe supermarkt gaan proberen en daar misschien wel alle boodschappen gaan doen of wellicht later naar hun oude supermarkt terugkeren.

  • Sommige mensen gaan ze allemaal regelmatig bezoeken.

  • Anderen blijven bij hun vertrouwde supermarkt.

Bij dit proces van wisselen van supermarkt kun je een graaf maken. De overgangskansen zijn gebaseerd op statistisch onderzoek. Zo betekent 0,72 dat 72% van de mensen die bij A winkelen dat de volgende keer ook doen. Maar 20% van de klanten van A gaan de volgende keer naar B.

Bij deze overgangsgraaf hoort een overgangsmatrix W = ( 0,72 0,49 0,47 0,20 0,35 0,29 0,08 0,16 0,24 ) .
Met K = ( 1 0 0 ) geef je een klant aan die zojuist bij A winkelde.
Nu kun je door matrixvermenigvuldiging uitzoeken of zijn winkelgedrag een soort van evenwicht zal bereiken. Dit zegt dan iets over het gemiddelde winkelgedrag in deze stad op de lange duur.

a

Onderzoek door matrixvermenigvuldiging of een klant die als eerste bij supermarkt A winkelt volgens dit model een stabiel koopgedrag gaat vertonen.

b

Hoeveel procent van de totale omzet van de supermarkten zal in deze plaats volgens dit model bij supermarkt A terecht komen?

Opgave 7Populatievoorspelling voor NL
Populatievoorspelling voor NL

Ook voor de bevolking van Nederland kun je proberen een Leslie-matrix op te stellen. Door geboortecijfers of overlevingskansen aan te passen kun je verschillende scenario's doorrekenen voor de samenstelling van de toekomstige generaties. Ook kun je met migratie rekening houden.

In het XL-bestand Leeftijdsdiagram NL vind je een verdeling van de Nederlandse bevolking in generaties met een lengte van 10 jaar. De gegevens van het jaar 2000 zijn opgezocht bij het CBS. Geboortecijfers, overlevingskansen kun je aanpassen. Een Leslie-matrix berekent dan de aantallen in 2010 en 2020. Kun je achterhalen welke Leslie-matrix?
En hoe is er met migratie rekening gehouden?

a

In hoeveel generaties is de bevolking van Nederland in dit Excel-werkblad verdeeld?

b

Stel een Lesliematrix op vanuit de geboortecijfers en de percentages overlevenden op dit werkblad.

c

Voorspel hiermee de verdeling van de bevolking van Nederland in 2010. Waarom wijken de uitkomsten af van de gegevens op het werkblad?

d

Waaraan kun je zien dat Nederland aan het "vergrijzen" is? Welke invloed heeft de migratie daarop?

Opgave 8Handelsreizigersprobleem
Handelsreizigersprobleem

Een heel actueel probleem waarin grafen een rol spelen is het handelsreizigersprobleem. Je stelt je daarbij de bezoekadressen van een handelsreiziger voor als knooppunten in een graaf. De verbindingslijnen geven zijn routes en afstanden weer. Het gaat er nu om een zo kort mogelijke route in die graaf te bepalen waarbij alle knooppunten precies één keer worden aangedaan.
Dit probleem is dermate ingewikkeld dat er nog niemand een structurele oplossing voor heeft gevonden. Dat komt omdat het aantal mogelijke combinaties bij n knopppunten gelijk is aan n ! en dat is een heel groot getal als n groot wordt.

Op internet is hierover veel informatie te vinden:

Schrijf er een korte verhandeling over. Ga daarbij ook in op de toepassingen.
Zoek naar geschikte methoden om het probleem zo goed mogelijk "op te lossen" . Verwerk daarin het volgende:

  • Zoek oplossingen voor het handelsreizigersprobleem voor een situatie met drie punten, met vier punten, met vijf punten, enzovoorts. Leg uit waarom veel wiskundigen dit probleem onoplosbaar achten.

  • Een voorbeeld van een methode om een verstandige route te vinden is de "naaste buur methode" , waarbij je vanuit elk punt steeds naar het dichtsbijzijnde volgende punt gaat en zo de graaf doorloopt. Bepaal een route door 20 willekeurig gekozen punten met behulp van de "naaste buur methode" die vanuit één punt weer in dat punt terecht komt. Laat zien dat in veel gevallen dit niet de kortste route oplevert.

verder | terug