Matrices en grafen

Matrices en grafen > Totaalbeeld

123456Totaalbeeld

Examenopgaven

Opgave 9Chaparral

Chaparral

In de overgangszone tussen het woestijnklimaat en het gematigde klimaat aan de westkust van Noord-Amerika treft men over een oppervlakte van ongeveer `2000` km² een vegetatie aan van groenblijvende struiken. Men spreekt daar over de Chaparral. De brandbaarheid van de planten is sterk afhankelijk van de leeftijd. Vanwege het vele dorre materiaal zijn vooral de oudere planten zeer brandbaar. Brand heeft naast het gevaar voor mens en dier ook een belangrijke nuttige functie: op de plaats van de verbrande struiken komen vrijwel direct jonge en levenskrachtige planten uit de grond. Spontane branden worden daarom niet altijd geblust. De verjonging zorgt er immers voor dat er geen grote, uitgestrekte gebieden ontstaan van dor materiaal die bij brand tot catastrofes zouden kunnen leiden.
Van deze situatie wordt een model gemaakt, waarbij men de volgende uitgangspunten hanteert:

De vegetatie wordt op grond van de leeftijd onderverdeeld in vier klassen:
- $0 - < 10$ jaar;
- $10 - < 20$ jaar;
- $20 - < 30$ jaar;
- $30$ jaar en ouder.
Als maat voor de omvang van een klasse neemt men niet het aantal planten maar de oppervlakte van het door die klasse bedekte gebied.
Per klasse blijft het percentage dat elke $10$ jaar verbrandt, constant.
De totale oppervlakte van het gebied blijft 2000 km².

Bij dit model past de volgende graaf:

$b_{i}$ is het gedeelte van klasse $i$ dat verbrandt ( $b_{i} < 1$ ) en $g_{i}$ is het gedeelte van klasse $i$ dat niet verbrandt ( $g_{i} < 1$ ). Bij deze graaf kan een overgangsmatrix $M$ worden opgesteld waarin $b_{i}$ en $g_{i}$ voorkomen. Het kental $m_{(i j)}$ van deze matrix stelt daar bij de overgang van klasse $j$ naar klasse $i$ voor.

Stel deze matrix $M$ op.

Oppervlakte in km²
klasse	`t = 0`	`t = 1`
1	302	462
2	284	300
3	314	278
4	1100	960

In de tabel staat vermeld hoe groot de oppervlakte is die elke klasse bedekt op het tijdstip $t = 0$ en op het tijdstip $t = 1$ ( $10$ jaar later).

Bereken $g_{1}$ , $g_{2}$ , $b_{1}$ en $b_{2}$ in drie decimalen nauwkeurig.

Van de matrix $M$ zijn met de computer de machten $M^{2}$ , $M^{3}$ , $M^{4}$ , ... uitgerekend.
Men constateerde dat de matrices $M^{n}$ vanaf een zekere waarde van $n$ nauwelijks meer verschillen. Zo zijn, na afronding op twee decimalen, de matrices $M^{n}$ voor $n > 20$ allemaal gelijk aan de volgende overgangsmatrix:

$M^{n} = (\begin{matrix} 0,19 & 0,19 & 0,19 & 0,19 \\ 0,19 & 0,19 & 0,19 & 0,19 \\ 0,18 & 0,18 & 0,18 & 0,18 \\ 0,44 & 0,44 & 0,44 & 0,44 \end{matrix})$

Het blijkt dat op elke rij de getallen gelijk zijn.

Welke conclusies kan men nu trekken voor de samenstelling van de Chaparralvegetatie?

In de praktijk passen de beheerders van de Chaparral ook nog gecontroleerde bewuste afbranding van gedeeltes van de vegetatie ouder dan $10$ jaar toe. In ons model nemen we ter vereenvoudiging aan dat dit direct na elke periode van $10$ jaar in één moment plaatsvindt. Neem aan dat men steeds $2,5$ % van klasse 2, $1,3$ % van klasse 3 en $7,2$ % van klasse 4 verbrandt.
Dit proces van bewuste afbranding kan weergegeven worden door een `4xx4` -matrix $B$ , waarin de hierboven genoemde percentages zijn verwerkt. Met behulp van het matrixproduct $B \cdot M$ kan dan het gezamenlijke proces over $10$ jaar van de spontane afbranding, gevolgd door de gecontroleerde bewuste afbranding, beschreven worden.

Stel matrix $B$ op.

(bron: examen vwo wiskunde A in 1994, eerste tijdvak, opgave 1)

Opgave 10IJs

IJs

Een kleine ijsfabrikant levert de volgende vier producten:

vanille-ijs in literpakken;
duo-ijs in literpakken;
aardbeienijs in literpakken;
vanille-ijs in pakjes van $0,125$ liter.

Het duo-ijs bestaat voor $60$ % uit vanille-ijs en voor $40$ % uit aardbeienijs. De ijsfabrikant levert deze producten in dozen: in een doos gaan òf $16$ literpakken van een zelfde product òf $80$ kleine pakjes. Een winkelier bestelt $15$ dozen met literpakken vanille-ijs, $10$ dozen met duo-ijs, $4$ dozen met aardbeienijs en $8$ dozen met kleine pakjes vanille-ijs.

Bereken hoeveel liter vanille-ijs en hoeveel liter aardbeienijs nodig is voor deze bestelling.

De kosten die de ijsfabrikant maakt bestaan uit grondstofkosten, verpakkingskosten en transportkosten:

de grondstofkosten zijn € 2,80 per liter vanille-ijs en € 3,10 per liter aardbeienijs;
de verpakkingskosten zijn € 0,10 per pak of pakje en € 1,10 per doos;
de transportkosten zijn € 2,10 per doos.

De prijzen die de ijsfabrikant rekent zijn: € 60,- voor een doos vanille-ijs, € 64,- voor een doos duo-ijs, € 70,- voor een doos aardbeienijs en € 80,- voor een doos met kleine pakjes vanille-ijs.

Bereken de winst van de ijsfabrikant op de bestelling van de winkelier.

Om te bepalen hoeveel liter vanille-ijs en hoeveel liter aardbeienijs hij nodig heeft voor een bestelling, maakt de ijsfabrikant gebruik van een computerprogramma. De benodigde hoeveelheden vanille-ijs (in liter) en aardbeienijs (in liter) worden door middel van de volgende matrixvermenigvuldiging berekend:

$M \cdot (\begin{matrix} a \\ b \\ c \\ d \end{matrix})$

Hierbij geldt:
$a$ = het aantal dozen met literpakken vanille-ijs
$b$ = het aantal dozen met literpakken duo-ijs
$c$ = het aantal dozen met literpakken aardbeienijs
$d$ = het aantal dozen met kleine pakjes vanille-ijs

Geef de matrix $M$ . Licht je antwoord toe.

Het computerprogramma kan ook de winst ( $W$ , in euro) op een bestelling berekenen. Het programma maakt gebruik van de volgende matrixformule:

$W = (A - B \cdot M - C) \cdot (\begin{matrix} a \\ b \\ c \\ d \end{matrix})$

Hierbij zijn $A$ , $B$ en $C$ , evenals $M$ , matrices die door de ijsfabrikant van de juiste elementen moeten worden voorzien. De matrices $A$ en $C$ moeten als volgt worden ingevuld: $A = (\begin{matrix} 60 & 64 & 70 & 80 \end{matrix})$ en $C = (\begin{matrix} 4,8 & 4,8 & 4,8 & 11,2 \end{matrix})$ .

Geef de matrix $B$ . Licht je antwoord toe.

(bron: examen vwo wiskunde A 1999, eerste tijdvak, aangepast aan euro)

verder | terug