Matrices en grafen > Totaalbeeld
123456Totaalbeeld

Testen

Opgave 1

Hieronder zie je een deel van de voedselketen van vogels voor de kust van Long Island (U.S.A.). Zo zie je bijvoorbeeld dat een voorn plankton en waterplanten eet. De voorn wordt onder andere door de ijsvogel gegeten.

Stel dat er sprake is van een verhoging van de hoeveelheid gif in de waterplanten. Neem aan dat alleen de aangegeven planten en dieren gegeten worden. Met het voedsel wordt ook het vergif doorgegeven.

a

Mag je een verhoging van de hoeveelheid gif bij alle genoemde vogels verwachten? Licht je antwoord toe.

Het is mogelijk de bovenstaande voedselketen weer de geven met behulp van matrices. De voedselstromen van P naar F zijn in deze matrix M weergegeven:

M = ( 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 )

Ga er van uit dat de getallen op de bovenste rij aangeven dat P1 wel, P2 niet en P3 weer wel door F1 wordt gegeten. Verder gaat de tweede rij over F2, de derde over F3, enzovoort.

b

Maak een vergelijkbare matrix N die de voedselstromen van F naar B weergeeft. Doe dit zo, dat M en N zinvol kunnen worden vermenigvuldigd.

c

Vermenigvuldig de matrices M en N en licht de betekenis van de getallen in deze matrix toe.

Opgave 2

Een tuinman heeft zaad bewaard van zijn witte en zijn rode rozen. Hij weet dat het zaad van de witte rozen voor 70% weer witte rozen en voor 30% rode rozen oplevert. Het zaad van de rode rozen levert voor 20% witte en voor 80% rode rozen op. Je ziet dat hiernaast in schema.

a

Teken hierbij een graaf met twee knooppunten.

b

Stel een bijbehorende overgangsmatrix R op.

c

Het zaad dat de tuinman heeft bewaard was voor 55% afkomstig van witte rozen en voor 45% van rode rozen. Als hij alle zaad laat ontkiemen, hoe is de verdeling dan een jaar later?

d

Bereken de matrix R 2 . Welke betekenis heeft deze matrix?

e

Welke matrix benadert R n als n steeds groter wordt? Wat betekent dat voor de verdeling van de kleuren van de rozen?

Opgave 3

Tussen de vijf Griekse eilanden, Ios, Naxos, Mikonos, Siros en Serifos, bestaan de volgende bootverbindingen (heen en weer dienst): Ios-Naxos, Ios-Serifos, Siros-Mikonos, Siros-Naxos en Siros-Ios.

a

Geef de situatie weer in een graaf.

b

Stel de bijbehorende verbindingsmatrix C op.

c

Bereken C + C 2 . Welke betekenis heeft deze matrix?

d

Hoeveel bedraagt de graad van verbinding?

e

Stel er komt een nieuwe bootverbinding tussen Serifos en Mikonos. Bereken dan de nieuwe graad van verbinding.

Opgave 4

Een grootwinkelbedrijf brengt een goedkope Engelse fiets op de markt in vijf grote steden. Er zijn drie varianten: een herenfiets, een damesfiets en een kinderfiets. De herenfiets en de damesfiets kosten € 680,- per stuk, de kinderfiets kost € 420,- per stuk. De tabel laat zien welke aantallen fietsen het grootwinkelbedrijf bij de introductie van deze fiets heeft staan:

herenfiets damesfiets kinderfiets
Amsterdam 40 40 60
Rotterdam 30 30 30
Groningen 20 20 40
Zwolle 20 20 40
Eindhoven 20 20 40
a

Geef in een matrix weer welke verkoopwaarde deze beginvoorraden in de vijf steden hebben. Laat zien hoe je daarbij van matrixvermenigvuldiging gebruik kunt maken.

Na drie maanden worden de fietsen die nog niet zijn verkocht geteld. Dat levert de volgende voorraad op:

herenfiets damesfiets kinderfiets
Amsterdam 21 16 5
Rotterdam 7 8 5
Groningen 3 11 10
Zwolle 8 6 0
Eindhoven 3 9 7
b

Stel een verkoopmatrix voor deze periode op waarin per fiets de aantallen verkochte exemplaren per vestiging staan.

c

Welke type verkocht het best: de herenfiets, de damesfiets of de kinderfiets? In welke plaats werd elk type het best verkocht?

d

De verkoopprijs van deze fietsen is ongeveer % hoger dan de inkoopprijs. Bereken per vestiging met behulp van matrixvermenigvuldiging hoeveel winst er is gemaakt op de verkoop van deze fietsen in de voorgaande drie maanden.

e

De bedrijfsleiding wil zo spoedig mogelijk van de restvoorraad af. Deze restvoorraad wordt daarom in de aanbieding gedaan: elke fiets voor € 200,-. Bereken de totale winst die er op de Engelse fietsen wordt gemaakt.

Opgave 5

Bij een populatie dieren zijn voor de verschillende leeftijdsklassen tellingen gedaan. De resultaten staan in de volgende tabel:

leeftijd
(jaren)
aantal dieren
per 1-1-2000
aantal dieren
per 1-1-2001
aantal nakomelingen per 100 exemplaren
tussen 1-1-2000 en 1-1-2001
9600 13360 0
11500 7365 38
11200 9080 46
7800 7800 48
600 735 16

Neem aan dat de geboortecijfers en de sterftecijfers ook gelden voor de volgende jaren.

a

Stel een populatievoorspellingsmatrix op. Bereken de getallen in twee decimalen nauwkeurig.

b

Bereken de verwachte populatie per 1-1-2002.

c

Bereken de kans dat een pasgeboren dier van deze populatie ook echt 5 jaar oud wordt.

d

Onderzoek het verloop van deze populatie dieren.

verder | terug