Matrices en grafen

Opgave 1

Hieronder zie je een deel van de voedselketen van vogels voor de kust van Long Island (U.S.A.). Zo zie je bijvoorbeeld dat een voorn plankton en waterplanten eet. De voorn wordt onder andere door de ijsvogel gegeten.

Stel dat er sprake is van een verhoging van de hoeveelheid gif in de waterplanten. Neem aan dat alleen de aangegeven planten en dieren gegeten worden. Met het voedsel wordt ook het vergif doorgegeven.

a

Mag je een verhoging van de hoeveelheid gif bij alle genoemde vogels verwachten? Licht je antwoord toe.

Het is mogelijk de bovenstaande voedselketen weer de geven met behulp van matrices. De voedselstromen van P naar F zijn in deze matrix $M$ weergegeven:

$M = (\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix})$

Ga er van uit dat de getallen op de bovenste rij aangeven dat P₁ wel, P₂ niet en P₃ weer wel door F₁ wordt gegeten. Verder gaat de tweede rij over F₂, de derde over F₃, enzovoort.

b

Maak een vergelijkbare matrix $N$ die de voedselstromen van F naar B weergeeft. Doe dit zo, dat $M$ en $N$ zinvol kunnen worden vermenigvuldigd.

c

Vermenigvuldig de matrices $M$ en $N$ en licht de betekenis van de getallen in deze matrix toe.

Opgave 2

Een tuinman heeft zaad bewaard van zijn witte en zijn rode rozen. Hij weet dat het zaad van de witte rozen voor $70$ % weer witte rozen en voor $30$ % rode rozen oplevert. Het zaad van de rode rozen levert voor $20$ % witte en voor $80$ % rode rozen op. Je ziet dat hiernaast in schema.

a

Teken hierbij een graaf met twee knooppunten.

b

Stel een bijbehorende overgangsmatrix $R$ op.

c

Het zaad dat de tuinman heeft bewaard was voor $55$ % afkomstig van witte rozen en voor $45$ % van rode rozen. Als hij alle zaad laat ontkiemen, hoe is de verdeling dan een jaar later?

d

Bereken de matrix $R^{2}$ . Welke betekenis heeft deze matrix?

e

Welke matrix benadert $R^{n}$ als $n$ steeds groter wordt? Wat betekent dat voor de verdeling van de kleuren van de rozen?

Opgave 3

Tussen de vijf Griekse eilanden, Ios, Naxos, Mikonos, Siros en Serifos, bestaan de volgende bootverbindingen (heen en weer dienst): Ios-Naxos, Ios-Serifos, Siros-Mikonos, Siros-Naxos en Siros-Ios.

a

Geef de situatie weer in een graaf.

b

Stel de bijbehorende verbindingsmatrix $C$ op.

c

Bereken $C + C^{2}$ . Welke betekenis heeft deze matrix?

d

Hoeveel bedraagt de graad van verbinding?

e

Stel er komt een nieuwe bootverbinding tussen Serifos en Mikonos. Bereken dan de nieuwe graad van verbinding.

Opgave 4

Een grootwinkelbedrijf brengt een goedkope Engelse fiets op de markt in vijf grote steden. Er zijn drie varianten: een herenfiets, een damesfiets en een kinderfiets. De herenfiets en de damesfiets kosten € 680,- per stuk, de kinderfiets kost € 420,- per stuk. De tabel laat zien welke aantallen fietsen het grootwinkelbedrijf bij de introductie van deze fiets heeft staan:

	herenfiets	damesfiets	kinderfiets
Amsterdam	40	40	60
Rotterdam	30	30	30
Groningen	20	20	40
Zwolle	20	20	40
Eindhoven	20	20	40

a

Geef in een matrix weer welke verkoopwaarde deze beginvoorraden in de vijf steden hebben. Laat zien hoe je daarbij van matrixvermenigvuldiging gebruik kunt maken.

Na drie maanden worden de fietsen die nog niet zijn verkocht geteld. Dat levert de volgende voorraad op:

	herenfiets	damesfiets	kinderfiets
Amsterdam	21	16	5
Rotterdam	7	8	5
Groningen	3	11	10
Zwolle	8	6	0
Eindhoven	3	9	7

b

Stel een verkoopmatrix voor deze periode op waarin per fiets de aantallen verkochte exemplaren per vestiging staan.

c

Welke type verkocht het best: de herenfiets, de damesfiets of de kinderfiets? In welke plaats werd elk type het best verkocht?

d

De verkoopprijs van deze fietsen is ongeveer `40` % hoger dan de inkoopprijs. Bereken per vestiging met behulp van matrixvermenigvuldiging hoeveel winst er is gemaakt op de verkoop van deze fietsen in de voorgaande drie maanden.

e

De bedrijfsleiding wil zo spoedig mogelijk van de restvoorraad af. Deze restvoorraad wordt daarom in de aanbieding gedaan: elke fiets voor € 200,-. Bereken de totale winst die er op de Engelse fietsen wordt gemaakt.

Opgave 5

Bij een populatie dieren zijn voor de verschillende leeftijdsklassen tellingen gedaan. De resultaten staan in de volgende tabel:

leeftijd (jaren)	aantal dieren per 1-1-2000	aantal dieren per 1-1-2001	aantal nakomelingen per $100$ exemplaren tussen 1-1-2000 en 1-1-2001
`0 - lt 1`	9600	13360	0
`1 - lt 2`	11500	7365	38
`2 - lt 3`	11200	9080	46
`3 - lt 4`	7800	7800	48
`4 - lt 5`	600	735	16

Neem aan dat de geboortecijfers en de sterftecijfers ook gelden voor de volgende jaren.

a

Stel een populatievoorspellingsmatrix op. Bereken de getallen in twee decimalen nauwkeurig.

b

Bereken de verwachte populatie per 1-1-2002.

c

Bereken de kans dat een pasgeboren dier van deze populatie ook echt $5$ jaar oud wordt.

d

Onderzoek het verloop van deze populatie dieren.

Testen