Kansen en tellen > Machten en faculteiten
123456Machten en faculteiten

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

`10^7`

b

`9 *10^6`

c

`604800`

Opgave 1
a

Herhaling is toegestaan, dus `6 *6 *6 *6 *6 *6 =6^6=46656` mogelijkheden.

b

Er zijn dan `6*5*4*3*2*1=720` mogelijkheden.

Opgave 2
a

Op `26 *26 *26 *26 *26 *26 =26^6=308915776` manieren.

b

Op `26 *25 *24 *23 *22 *21 =165765600` manieren.

Opgave 3
a

`23^4*10^2=27984100` mogelijke nummerborden

b

`23 *22 *21 *20 *10 *9 =19126800`

c

Mogen de tekens niet worden herhaald, zijn dat er `10 *9 *26 *25 *24 *23 =32292000` . Dus er zijn `32292000` auto's mogelijk met een kenteken met verschillende tekens.

Er zijn `10^2*26^4=45697600` kentekenplaten mogelijk als de tekens mogen worden herhaald.

De gevraagde kans is `32292000/45697600≈0,7067` , dus ongeveer `71` %.

d

De eerste letter is een `D` of een `F` : hier zijn dus `2` mogelijkheden. Daarna heb je `26-5` (klinkers)- `1` mogelijkheden voor de tweede letter. Voor de derde letter zijn er `19` mogelijkheden. Dan `10*9` getallen, en dan `18` mogelijkheden voor nog een letter. In totaal: `2*20*19*10*9*18=1231200` mogelijkheden.

Opgave 4

Er zijn `40 *39 *38 = ((40 !)) / ((37 !)) =59280` keuzes mogelijk.

Opgave 5
a

Dit is het aantal manieren waarop je tien verschillende elementen kunt rangschikken.

b

`10! =3628800`

c

Dit is het aantal volgordes waarop je drie elementen uit tien verschillende elementen kunt uitkiezen, zonder deze te mogen herhalen.

d

`10 *9 *8 = (10 !) / (7 !) =720`

e

`100*99*98*97*96=(100 !) / (95 !) =9034502400`

Opgave 6
a

`5^5=3125`

b

`5! =120`

c

`5^3=125`

d

`5*4*3=60`

e

Voor de laatste drie cijfers kunt je kiezen wat je wilt, dus dat zijn alvast `5^3` mogelijkheden. Bij het kiezen van de eerste twee cijfers moet je even opletten:

  • als het eerste cijfer een zes is, heb je voor het tweede cijfer nog `4` mogelijkheden, ofwel `1*4` ;

  • als het eerste cijfer een zeven of een acht is, heb je voor het tweede cijfer alle mogelijkheden, ofwel `2*5` .

Tel alles bij elkaar op en je krijgt `1*4*5^3+2*5^4=1750` mogelijke getallen.

f

Bekijk het als bij deelvraag e, maar dan zonder herhalingen.

  • als het eerste cijfer een zes is, zijn er nog `3` mogelijkheden voor het tweede cijfer, en dan nog `3!` voor de laatste drie;

  • als het eerste cijfer een zeven of acht is, zijn er nog `4!` mogelijkheden voor de cijfers die erop volgen.

Dit geeft `1*3*3!+2*1*4! =66` verschillende cijfers.

Opgave 7

`26^2*10^4=6760000`

Opgave 8
a

Er zijn `5*7=35` vakjes, ieder met twee mogelijkheden (aan of uit). Dat maakt totaal `2^35` mogelijkheden.

b

Er zijn `35*34*....*26` manieren waarbij `10` van de `35` puntjes "aan" staan. Echter, er zit geen verschil in de puntjes "aan" (er is geen onderlinge volgorde per gekozen tiental), wat betekent dat er te veel mogelijkheden zijn genoemd. Je moet dus delen door het aantal volgordes van die `10` puntjes die "aan" staan (en toch voor één mogelijkheid gezien moeten worden), daarom delen door `10!` . Het antwoord wordt dan: `(35!)/(10!*25!)=183579396`

Opgave 9
a

`15 *14 *13 =2730`

b

`1/2730`

Opgave 10
a

`8! =40320` volgordes.

b

Zet eerst deze persoon neer, er zijn twee plaatsen voor (de uiteindes aan weerszijden). De overige zeven kunnen willekeurig worden neergezet: `1*7!+1*7! =2*7! =10080` mogelijkheden.

c

Noem het paar dat naast elkaar wil zitten (a, b). Je krijgt dan als het ware een opstelling van zeven elementen: (a, b) c d e f g h. Die paren kun je op `7!` manieren rangschikken. Daarna doe je dit ook met (b, a) c d e f g h. Het totaal aantal volgordes is dan `2*7! =10080` .

Opgave 11

Totaal zijn er `6^4 =1296` mogelijkheden.
Gunstig is vier zessen ( `1` mogelijkheid) of drie zessen en één vijf ( `4` mogelijkheden). De kans is dus: `5/1296` .

Opgave 12
a

`4^30 ~~ 1,2 * 10^18` ofwel rond de `1,2` triljoen.

b

`4^6=4096`

c

Er zijn `6` posities, en je kiest er willekeurig `3` uit om een joker in te zetten. Dat kan op `6*5*4` manieren, maar dan tel je er eigenlijk te veel. De jokers zijn onderling niet verschillend: dus de `3!` volgordes die je teveel hebt geteld moet je eruit wegdelen.

Er zijn dus `(6*5*4)/(3*2*1)=(6!)/(3!*3!)=20` manieren om je jokers in te zetten.

d

Met de jokers meegerekend zijn er `3` vragen die je op goed geluk invult. Dat kan op `4^3=64` manieren. Er is maar `1` goede serie, dus de kans is `1/64` .

Opgave 13Bingo
Bingo
a

Voor een kolom met `5` getallen zijn er `(15!)/(10!)=360360` mogelijkheden

Voor een kolom met `4` getallen zijn er `(15!)/(11!)=32760` mogelijkheden

In totaal zijn er `(15!)/(11!)*( (15!)/(10!))^4≈5,5*10^26` mogelijkheden.

b

Voor een kolom met `5` getallen zijn er `5!` = `120` mogelijke volgorden wezenlijk hetzelfde.

Voor een kolom met `4` getallen zijn er `4!` = `24` mogelijke volgorden wezenlijk hetzelfde.

In totaal zijn er `(5,5*10^26)/(4!*(5!)^4)` mogelijkheden wezenlijk verschillend.

Dit is ongeveer `1,1*10^17` .

Opgave 14
a

`100000`

b

`90000`

c

`27216`

d

`17136`

Opgave 15
a

`3237399360`

b

`720`

c

`1/3237399360`

d

`1/4496388`

verder | terug