Maak een rooster zoals in de uitleg en vul dat in. Als je telt op dezelfde manier vind je $126$.

De berekening: $\frac{9!}{4!·5!}=\frac{9·8·7·6}{4·3·2·1}=126$.

$\frac{100!}{3!·97!}=\frac{100·99·98}{3!}=161700$

Als het goed is, is het antwoord natuurlijk altijd hetzelfde. Met faculteiten kom je op $\frac{6!}{4!·2!}=\frac{6·5}{2·1}=15$.

Zie figuur.

Zie figuur bij a.

In de driehoek van Pascal is dit af te lezen. Het idee erachter is dat je $0$ dingen uitkiest uit $7$ elementen: $\left(\begin{array}{c}7\\ 0\end{array}\right)=1$.

In de driehoek van Pascal is dit af te lezen. Het idee erachter is dat je $1$ element uitkiest uit $7$ elementen: $\left(\begin{array}{c}7\\ 1\end{array}\right)=7$.

In de driehoek van Pascal is dit af te lezen. Het idee erachter is dat je $2$ elementen uitkiest uit $7$ elementen: $\left(\begin{array}{c}7\\ 2\end{array}\right)=21$.

Als je er $3$ aanzet, blijven er $4$ over die niet aan staan. Bij elke andere keuze van $3$ aan, houd je automatisch een ander viertal schakelaars over die niet aan staan. Er zijn $\left(\begin{array}{c}7\\ 3\end{array}\right)=35$ verschillende keuzes om $3$ schakelaars aan te zetten. Bij elk van deze $35$ drietallen blijft een ander viertal over van schakelaars die niet aan staan. Er zijn $\left(\begin{array}{c}7\\ 4\end{array}\right)$ verschillende viertallen. Dus moet $\left(\begin{array}{c}7\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}7\\ 4\end{array}\right)$ gelden.

Stuk voor stuk $4$ elementen selecteren uit $30$ kan op $30·29·28·27=\frac{30!}{26!}=657720$ manieren.

Er zijn $4!=24$ volgordes om deze vier schakelaars "aan" te zetten.

Bij a heb je berekend op hoeveel manieren je de vier schakelaars kunt kiezen. Bij b bereken je in wezen hoe vaak je iedere selectie van $4$ schakelaars dubbel telt als de volgorde niet van belang is. Dus je deelt je antwoord bij a door je antwoord bij b.

Zo krijg je $\frac{30!}{26!·4!}=\left(\begin{array}{c}30\\ 4\end{array}\right)=\frac{657720}{24}=27405$.

Op $\left(\begin{array}{c}30\\ 6\end{array}\right)=\frac{30!}{24!·6!}=593775$ manieren.

Je kijkt hier naar het aantal manieren dat je willekeurig $3$ uit $8$ mannen kunt uitkiezen en $2$ uit $12$ vrouwen. Dat is respectievelijk $\left(\begin{array}{c}8\\ 3\end{array}\right)$ en $\left(\begin{array}{c}12\\ 2\end{array}\right)$. Het aantal manieren is dus $\left(\begin{array}{c}8\\ 3\end{array}\right)·\left(\begin{array}{c}12\\ 2\end{array}\right)=3696$.

In totaal zijn er $\left(\begin{array}{c}20\\ 5\end{array}\right)$ mogelijkheden. Het aantal gunstige mogelijkheden is $\left(\begin{array}{c}8\\ 3\end{array}\right)·\left(\begin{array}{c}12\\ 2\end{array}\right)$. De kans is dus $\frac{\left(\begin{array}{c}8\\ 3\end{array}\right)·\left(\begin{array}{c}12\\ 2\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}12\\ 5\end{array}\right)}$.

Hoogstens $3$ mannen betekent hier:

• $3$ uit $8$ mannen en $2$ uit $12$ vrouwen, of;

• $2$ uit $8$ mannen en $3$ uit $12$ vrouwen, of;

• $1$ uit $8$ mannen en $4$ uit $12$ vrouwen, of;

• $0$ mannen en $5$ uit $12$ vrouwen.

Dat geeft totaal $\left(\begin{array}{c}8\\ 3\end{array}\right)·\left(\begin{array}{c}12\\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}8\\ 2\end{array}\right)·\left(\begin{array}{c}12\\ 3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}8\\ 1\end{array}\right)·\left(\begin{array}{c}12\\ 4\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}8\\ 0\end{array}\right)·\left(\begin{array}{c}12\\ 5\end{array}\right)=14608$ manieren.

De weg van $P$ naar $M$ bestaat uit $7$ stappen, waarvan je er $4$ naar boven gaat. Dat kan op $\left(\begin{array}{c}7\\ 4\end{array}\right)=35$ manieren.

Je kunt ook zeggen dat de weg van $P$ naar $M$ bestaat uit $7$ stappen, waarvan je er $3$ opzij doet. Dat kan op $\left(\begin{array}{c}7\\ 3\end{array}\right)=35$ manieren.

De weg van $M$ naar $S$ bestaat uit $5$ stappen, waarvan je er $2$ naar boven uitkiest. Dat kan op $\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)=10$ manieren.

$35·10=350$

In totaal zijn er $\left(\begin{array}{c}6\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}6\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}6\\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}6\\ 2\end{array}\right)=64$ routes. Dit is sneller te berekenen met $2^6$. Omdat er steeds `2` keuzes zijn om de weg naar onder te vervolgen, is de som van de getallen op een rij de overeenkomstige macht van `2` .

Nee

$\left(\begin{array}{c}10\\ 3\end{array}\right)=\frac{10!}{3!·7!}=120$

$2^{10}=1024$

$\frac{1}{1024}$

De uitkomst is $0$, $1$, $2$, $3$, $4$ of $5$ keer kop. Er zijn dus $6$ mogelijkheden.

$\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)=\frac{5!}{2!·3!}=10$

$\frac{10}{32}=\frac{5}{16}$

$\frac{1}{2^{50}}·\left(\begin{array}{c}50\\ 20\end{array}\right)\approx \mathrm{0,042}$

$\left(\begin{array}{c}14\\ 4\end{array}\right)=1001$

$\left(\begin{array}{c}14\\ 2\end{array}\right)·\left(\begin{array}{c}12\\ 2\end{array}\right)=6006$

$\left(\begin{array}{c}46\\ 3\end{array}\right)=15180$

Je kiest er willekeurig één uit elk genre, dus er zijn voor de genres respectievelijk $29$, $5$ en $12$ mogelijkheden. Dat maakt totaal $29·5·12=1740$.

Twee willekeurige Godzillafilms kunnen op $\left(\begin{array}{c}29\\ 2\end{array}\right)=406$ manieren gekozen worden. Voor de derde film zijn er $17$ mogelijkheden. Deze drie films kunnen op $3!$ manieren gerangschikt worden. Dat geeft totaal $406·17·3!=41412$ mogelijkheden.

Het aantal mogelijke selecties van Godzillafilms is $\left(\begin{array}{c}29\\ 3\end{array}\right)=3654$. Er zijn $\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)=10$ selecties van comedies, en $\left(\begin{array}{c}12\\ 3\end{array}\right)=220$ van tekenfilms.

Bij elke selectie is er maar één selectie chronologisch verantwoord, dus het totaal is $3654+10+220=3884$.

$8!=40320$

$6!·3!=4320$

$6!·2=1440$

$\left(\begin{array}{c}8\\ 3\end{array}\right)·5!·2=13440$

${\left(a+b\right)}^3=\left(a+b\right)\left(a+b\right)\left(a+b\right)=\left(a^2+2ab+b^2\right)\left(a+b\right)=a^3+a^{2}b+2a^{2}b+2a{b}^2+a{b}^2+b^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$

${\left(a+b\right)}^3=\left(\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right)a^3{b}^0+\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)a^2{b}^1+\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)a^1{b}^2+\left(\begin{array}{c}3\\ 3\end{array}\right)a^0{b}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$

$2^3=8$

Driemaal $a$, tweemaal $a$ (en dus eenmaal $b$), eenmaal $a$ en nul keer $a$. Je kunt hetzelfde natuurlijk beweren van $b$.

Nul keer $a$: $\left(\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right)$ is één mogelijkheid.

Eén keer $a$: $\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)$ is drie mogelijkheden.

Twee keer $a$: $\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)$ is drie mogelijkheden.

Drie keer $a$: $\left(\begin{array}{c}3\\ 3\end{array}\right)$ is één mogelijkheid.

(Merk op dat alle mogelijkheden bij elkaar opgeteld acht zijn.)

Voor algemene $n$ kun je ${\left(a+b\right)}^n$ zien als het werpen van $n$ muntjes met $a$ en $b$ aan weerszijden. Dit kan op $2^n$ manieren. Je hebt dus $2^n$ rijen van $a$'tjes en $b$'tjes. De hoeveelheid $a$'tjes en $b$'tjes zijn er bij elkaar opgeteld $n$ per rijtje.

Nou zijn er natuurlijk $\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)$ combinaties mogelijk van rijtjes van lengte $n$ waarin $k$ keer een $b$ staat, en de rest $a$ is. Omdat de volgorde van de $a$'tjes en $b$'tjes hier niet uitmaakt, kun je dus alle rijtjes met een bepaalde verhouding aan letters bij elkaar optellen.

Het aantal rijtjes met nul keer $b$ erin zijn er dus $\left(\begin{array}{c}n\\ 0\end{array}\right)$. Het aantal met één $b$ erin is $\left(\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right)$, enzovoort.

Dus ${\left(a+b\right)}^n=\left(\begin{array}{c}n\\ 0\end{array}\right)a^n{b}^0+\left(\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right)a^{n-1}{b}^1+\dots +\left(\begin{array}{c}n\\ n\end{array}\right)a^0{b}^n$.

$924$

$720$

$26!$

$7893600$

$65780$

$25200$

$\mathrm{0,996}$

$6·6·6=216$

P(4,4,4) = $\frac{1}{216}$; P(3,3,6) = $\frac{3}{216}$; P(3,4,5) = $\frac{6}{216}$; P(2,4,6) = $\frac{6}{216}$; P(2,5,5) = $\frac{3}{216}$