Kansen en tellen > Permutaties en combinaties
123456Permutaties en combinaties

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

`8 *7 *6 =336`

b

`56` .

Opgave 1
a

`126`

b

`161700`

Opgave 2
a
b

`15`

Opgave 3
a

Nee

b

`120`

c

`1024`

d

`1/1024`

Opgave 4

Op `1860480` manieren.

Opgave 5
a

`15504`

b

Er zijn `3696` manieren om dit te krijgen.

c

`44352` verschillende groepen.

Opgave 6
a

`3696`

b

`(((8 ),(3 ))*((12 ),(2 )))/(((20),(5)))`

c

`14608`

Opgave 7
a

Zie figuur.

b

Zie figuur bij a.

c

`1`

d

`7`

e

`21`

f

Als je er `3` aanzet, blijven er `4` over die niet aan staan. Bij elke andere keuze van `3` aan, houd je automatisch een ander viertal schakelaars over die niet aan staan. Er zijn `((7),(3))=35` verschillende keuzes om `3` schakelaars aan te zetten. Bij elk van deze `35` drietallen blijft een ander viertal over van schakelaars die niet aan staan. Er zijn `((7),(4))` verschillende viertallen. Dus moet `((7),(3))=((7),(4))` gelden.

Opgave 8
a

Op `657720` manieren.

b

Er zijn `4! =24` volgordes om deze vier schakelaars "aan" te zetten.

c

`657720/24=27405`

d

Op `593775` manieren.

Opgave 9
a

`35`

b

`10`

c

`35 *10 =350`

d

In totaal zijn er `((6),(0))+((6),(1))+((6),(2))+((6),(3))+((6),(4))+((6),(5))+((6),(6))=64` routes. Dit is sneller te berekenen met `2^6` . Omdat er steeds 2 keuzes zijn om de weg naar onder te vervolgen, is de som van de getallen op een rij de overeenkomstige macht van 2.

Opgave 10

Elke wedstrijd is een greep van twee spelers uit de `24` waarbij de volgorde niet van belang is. Er zijn dus `((24 ),(2 ))= (24 !) / (2 !*22 !) =276` wedstrijden te spelen.

Opgave 11
a

`6`

b

`10`

c

`10/32=5/16`

d

`1/(2^50)*((50),(20)) ~~ 0,042`

Opgave 12

Rooster I: `420` routes.

Rooster II: `84` routes.

Opgave 13
a

`1001`

b

`6006`

Opgave 14

Er zijn `42` routes van `A` naar `B` .

Opgave 15

Er zijn `2^4` of `((4),(0))+ ((4),(1))+ ((4),(2))+ ((4),(3))+ ((4),(4))=16` routes van `A` naar de punten op lijn `k` .

Opgave 16
a

`40320`

b

`4320`

c

`1440`

d

`13440`

Opgave 17
a

`15180`

b

`1740`

c

`41412`

d

`3884`

Opgave 18
a

`(a+b)^3=(a+b)(a+b)(a+b)=(a^2+2ab+b^2)(a+b)=a^3+a^2b+2a^2b+2ab^2+ab^2+b^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3`

b

`(a+b)^3=((3),(0))a^3b^0+((3),(1))a^2b^1+((3),(2))a^1b^2+((3),(3))a^0b^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3`

c

`8`

d

Driemaal `a` , tweemaal `a` (en dus eenmaal `b` ), eenmaal `a` en nul keer `a` . Je kunt hetzelfde natuurlijk beweren van `b` .

e

Nul keer `a` : `((3),(0))=` één mogelijkheid.

Eén keer `a` : `((3),(1))=` drie mogelijkheden.

Twee keer `a` : `((3),(2))=` drie mogelijkheden.

Drie keer `a` : `((3),(3))=` één mogelijkheid.

(Merk op dat alle mogelijkheden bij elkaar opgeteld acht zijn.)

f

Voor algemene `n` kun je `(a+b)^n` zien als het werpen van `n` muntjes met `a` en `b` aan weerszijden. Dit kan op `2^n` manieren. Je hebt dus `2^n` rijen van `a` 'tjes en `b` 'tjes. De hoeveelheid `a` 'tjes en `b` 'tjes zijn er bij elkaar opgeteld `n` per rijtje.

Nou zijn er natuurlijk `((n),(k))` combinaties mogelijk van rijtjes van lengte `n` waarin `k` keer een `b` staat, en de rest `a` is. Omdat de volgorde van de `a` 'tjes en `b` 'tjes hier niet uitmaakt, kun je dus alle rijtjes met een bepaalde verhouding aan letters bij elkaar optellen.

Het aantal rijtjes met nul keer `b` erin zijn er dus `((n),(0))` . Het aantal met één `b` erin is `((n),(1))` , enzovoort.

Dus `(a+b)^n=((n),(0))a^nb^0+((n),(1))a^(n-1)b^1+...+((n),(n))a^0b^n` .

Opgave 19
a

`924`

b

`720`

Opgave 20
a

`26 !`

b

`7893600`

c

`65780`

d

`25200`

e

`0,996` .

Opgave 21
a

`6 *6 *6 =216`

b

P(4,4,4) = `1/216` ; P(3,3,6) = `3/216` ; P(3,4,5) = `6/216` ; P(2,4,6) = `6/216` ; P(2,5,5) = `3/216`

verder | terug