Kansen en tellen

Kansen en tellen > Permutaties en combinaties

123456Permutaties en combinaties

Toepassen

Opgave 16Het binomium van Newton

Het binomium van Newton

Het "binomium van Newton" is een belangrijke stelling die zegt dat iedere term van de vorm ${(a + b)}^{n}$ herleid kan worden tot: $(\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}) \cdot a^{n} \cdot b^{0} + (\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix}) \cdot a^{n - 1} \cdot b^{1} + (\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) \cdot a^{n - 2} \cdot b^{2} + \dots + (\begin{matrix} n \\ n - 1 \end{matrix}) \cdot a^{1} \cdot b^{n - 1} + (\begin{matrix} n \\ n \end{matrix}) \cdot a^{0} \cdot b^{n}$

Dus bijvoorbeeld is ${(a + b)}^{1} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) \cdot a^{1} \cdot b^{0} + (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) \cdot a^{0} \cdot b^{1} = a + b$ ;
${(a + b)}^{2} = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix}) \cdot a^{2} \cdot b^{0} + (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) \cdot a^{1} \cdot b^{1} + (\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix}) \cdot a^{0} \cdot b^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ,
enzovoort.

In deze opgave ga je Newton's binomium een beetje onderzoeken.

Schrijf ${(a + b)}^{3}$ uit op de "oude" manier (door haakjes weg te werken).

Gebruik nu het binomium van Newton om ${(a + b)}^{3}$ uit te schrijven.

We gaan de algemene stelling gevoelsmatig aantonen. Je hebt drie muntjes, ieder met de letters "a" en "b" aan weerszijden. Je werpt alle muntjes en bekijkt wat er bovenkomt. Hoeveel mogelijkheden zijn er?

Ervan uitgaande dat de volgorde niet uitmaakt, welke mogelijkheden zijn er?

Bij de mogelijkheden van c, hoeveel volgordes zijn er per mogelijkheid?

Formuleer op grond van je antwoorden bij c, d en e een verklaring voor het binomium van Newton voor algemene $n$ .

verder | terug