Kansen en tellen > Permutaties en combinaties
123456Permutaties en combinaties

Verwerken

Opgave 10

Voor een schaaktoernooi hebben zich `24` deelnemers gemeld. Ze spelen een halve competitie, dus elke deelnemer speelt precies één maal tegen iedere andere deelnemer. Het aantal wedstrijden kan nu worden berekend met behulp van combinaties.

Leg uit waarom dat zo is en bereken het aantal te spelen wedstrijden.

Opgave 11

Je gooit met vijf verschillende geldstukken en je let op het aantal keren "kop" .

a

Hoeveel uitkomsten zijn er mogelijk?

b

Hoeveel mogelijke antwoorden met precies twee keer "kop" zijn er?

c

Hoe groot is de kans op precies twee keer "kop" ?

Je gooit nu met `50` geldstukken.

d

Hoe groot is de kans op `20` keer "kop" ? Rond af op drie cijfers achter de komma.

Opgave 12

Hoeveel kortste routes zijn er in deze roosters van punt `A` naar punt `B` ?

Opgave 13

Een groep bestaat uit `14` meisjes en `12` jongens. Er wordt een groepje van vier door loting uitgekozen.

a

Als het groepje uitsluitend uit meisjes moet bestaan, hoeveel verschillende groepjes zijn er dan mogelijk?

b

Beantwoord dezelfde vraag als het groepje uit twee jongens en twee meisjes moet bestaan.

Opgave 14

Hoeveel kortste routes zijn er in dit rooster van punt `A` naar punt `B` ?

Opgave 15

Hoeveel kortste routes zijn er in dit rooster van `A` naar de punten op lijn `k` ?

Opgave 16

Je wilt acht verschillende boeken op een boekenplank sorteren.
Op hoeveel manieren kun je de boeken neerzetten als geldt:

a

Iedere volgorde is toegestaan.

b

De drie wiskundeboeken moeten bij elkaar staan.

c

De twee woordenboeken moeten op het rechtereind van de rij naast elkaar staan.

d

Er worden drie boeken uitgekozen om te worden gekaft en dan naast elkaar aan een uiteinde te worden gezet. (Gekafte boeken beschouwen we niet als onderling verschillend.)

Opgave 17

Een groep vrienden houdt een filmavond. Ze zijn fans van drie genres films, en hebben uit die genres aardig wat films om te kiezen. Om precies te zijn: `29` Godzillafilms, `5` comedies, en `12` tekenfilms.
Ze kiezen drie films uit. Hieronder staan verschillende voorwaarden, bereken telkens het aantal mogelijke drietallen.

a

Het maakt niet uit uit welk van de drie groepen de films komen, of in welke volgorde ze gekeken worden, er worden gewoon drie gekozen.

b

Er wordt uit elk genre een film gekeken, maar het maakt niet uit in welke volgorde.

c

Er worden twee Godzillafilms gekeken en een willekeurige derde van een ander genre, en het maakt wel uit in welke volgorde.

d

Er worden ofwel drie Godzillafilms, ofwel drie comedies, ofwel drie tekenfilms gekeken, maar in elk geval wordt dan wel het willekeurige drietal gesorteerd op volgorde van jaartal. Ga er hier van uit dat er per groep niet meerdere films uit hetzelfde jaar komen.

Opgave 18

Het "binomium van Newton" is een belangrijke stelling die zegt dat iedere term van de vorm `(a+b)^n` herleid kan worden tot: `((n),(0))*a^n*b^0+((n),(1))*a^(n-1)*b^1+((n),(2))*a^(n-2)*b^2+...+((n),(n-1))*a^1*b^(n-1)+((n),(n))*a^0*b^n` .

Dus bijvoorbeeld is `(a+b)^1=((1),(0))*a^1*b^0+((1),(1))*a^0*b^1=a+b` ; `(a+b)^2=((2),(0))*a^2*b^0+((2),(1))*a^1*b^1+((2),(2))*a^0*b^2=a^2+2ab+b^2` enzovoort.

In deze opgave gaan we Newton's binomium een beetje onderzoeken.

a

Schrijf `(a+b)^3` uit op de "oude" manier (door haakjes weg te werken).

b

Gebruik nu het binomium van Newton om `(a+b)^3` uit te schrijven.

c

We gaan de algemene stelling gevoelsmatig aantonen. Je hebt drie muntjes, ieder met de letters "a" en "b" aan weerszijden. Je werpt alle muntjes en bekijkt wat er bovenkomt. Hoeveel mogelijkheden zijn er?

d

Ervan uitgaande dat de volgorde niet uitmaakt, welke mogelijkheden zijn er?

e

Bij de mogelijkheden van c, hoeveel volgordes zijn er per mogelijkheid?

f

Formuleer op grond van je antwoorden bij c, d en e een verklaring voor het binomium van Newton voor algemene `n` .

verder | terug