Kansen en tellen

Kansen en tellen > Permutaties en combinaties

123456Permutaties en combinaties

Voorbeeld 3

Uit een groepje van $3$ meisjes en $6$ jongens kies je door loting een vijftal.
Hoe groot is de kans dat daar minstens $2$ meisjes bij zijn?

> antwoord

Minstens $2$ meisjes wil zeggen $2$ of $3$ meisjes in een groep van $5$ (er zijn namelijk maximaal 3 meisjes).

Precies $2$ meisjes kiezen geeft $(\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 6 \\ 3 \end{matrix}) = 60$ mogelijkheden. Naast de $2$ meisjes heb je namelijk ook nog $3$ jongens nodig.

Precies $3$ meisjes kiezen geeft $(\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 6 \\ 2 \end{matrix}) = 15$ mogelijkheden. Naast de $3$ meisjes heb je namelijk ook nog $2$ jongens nodig.

Een vijftal kiezen met minstens $2$ meisjes geeft dus $75$ mogelijkheden.

Je kunt je deze keuzes voorstellen door middel van routes in een rooster. Het kiezen van een meisje zou je kunnen zien als de keuze "wel" en het kiezen van een jongen als de keuze "niet" (of omgekeerd).

In totaal kies je $5$ mensen uit $9$ : dat zijn $(\begin{matrix} 9 \\ 5 \end{matrix}) = 126$ mogelijkheden.

De kans op minstens $2$ meisjes als je $5$ mensen kiest, is dan ook: $\frac{75}{126} = \frac{25}{42}$ .

Opgave 7

Gegeven is een groep van $20$ mensen: $8$ mannen en $12$ vrouwen.

Op hoeveel manieren kun je door loting een groep van vijf samenstellen die bestaat uit $3$ mannen en $2$ vrouwen?

Hoe groot is de kans op een groep van vijf, bestaande uit $3$ mannen en $2$ vrouwen?

Op hoeveel manieren kun je door loting een groep van vijf samenstellen die bestaat uit hoogstens $3$ mannen?

Opgave 8

Gebruik de driehoek van Pascal in dit roosterdiagram.

Hoeveel kortste routes zijn er van $P$ naar $M$ ?

Hoeveel kortste routes zijn er van $M$ naar $S$ ?

Hoeveel kortste routes zijn er van $P$ naar $S$ via $M$ ?

Je kunt van linksboven naar rechtsonder een diagonaal tekenen. Daarop liggen $7$ punten. Bereken hoeveel manieren er zijn om deze punten te bereiken. Kun je dat ook sneller uitrekenen en waarom?

verder | terug