Bij de Olympische Spelen is de 100 m hardlopen een vast onderdeel. In de finale starten $8$ lopers, zeg A, B, C, D, E, F, G en H. Ze strijden om goud, zilver of brons. Ga er vanuit dat alle lopers gelijkwaardig zijn. Je weet het aantal volgordes waarin alle hardlopers over de finish kunnen komen, permutaties dus: $8!$.
Hoeveel mogelijke lijstjes met drie medaillewinnaars kun je maken?

Het gaat hier om het aantal volgordes van $3$ uit $8$ waarbij de uiteindelijke volgorde van belang is: $8·7·6={}_8{\text{P}}_3=336$ mogelijkheden.

Maar in de voorrondes van de Spelen is het niet belangrijk of je nummer 1, nummer 2 of nummer 3 bent: de eerste drie gaan door naar de volgende ronde. De lijstjes BDG, BGD, DBG, GBD, DGB en GDB hebben dan allemaal hetzelfde resultaat. Dat zijn er $6$ in totaal. Die tellen dan dus niet als afzonderlijke mogelijkheden, maar vormen samen één mogelijkheid. En dat geldt ook voor alle andere drietallen: de volgorde binnen die drietallen is niet belangrijk en die $6$ (dus $3!$) volgordes tellen telkens maar als één mogelijkheid mee. Dit betekent dat er geen $336$ mogelijke lijstjes zijn, maar slechts $336$ gedeeld door $3!$, dus $56$.

Dat kun je heel mooi weergeven in een rooster van $3$ bij $5$. Elk element van de groep van $8$ hoort dan wel of niet bij het uitverkoren drietal.

Je stelt je dan voor dat je alle $8$ hardlopers bij langs loopt en beslist of je hem/haar uitkiest, waarbij je er $3$ kiest en $5$ niet. Op hoeveel manieren kun je dit doen?

Dat tel je in het rooster als volgt: Het aantal routes dat in een punt bij elkaar komt is telkens het aantal routes dat in het punt eronder en het aantal routes dat in het punt er links naast, bij elkaar komt. Het is de som van de routes van de twee voorgangers.
Dat komt omdat je alleen naar rechts en omhoog mag bewegen over de roosterlijnen, omdat je anders meer dan $8$ beslissingen neemt. Het aantal mogelijke (kortste) routes van linksonder naar rechtsboven is gelijk aan het aantal groepjes van $3$ uit $8$. En dat zijn inderdaad $56$ combinaties.