Dezelfde kansboom als in de uitleg, maar bij alle groene takken staat de kans `3/20` (of `0,15` ) en bij de rode takken staat de kans `17/20` (of `0,85` ).

`0,2550`

In de kansboom is dit de route treffer-treffer en dus wordt de kans: `0,15 * 0,15 = 0,0225` .

Dit is de kans op `0` treffers of `1` treffer: in de kansboom zijn dit alle routes behalve de route treffer-treffer uit c. Deze kans is gelijk aan `1` min de kans op `2` treffers en dit is gelijk aan `1 - 0,0225 = 0,9775` .

In het vaasmodel pak je nu `3` balletjes: voor iedere keer keer werpen `1` balletje. Gebruik dus een kansboom met drie lagen: voor ieder balletje `1` laag. Precies twee keer gooien zie je in `3` routes van deze kansboom en iedere route geeft een kans van `0,15^2 * 0,85` .

`text(P)(X=2) = 0,15^2 * 0,85 *3 ~~ 0,0573`

`0,15^2 * 0,85⋅3 + 0,15 * 0,85^2 * 3 + 0,85^3 ~~ 0,9966`

`0,15^2 * 0,85 * 3 + 0,15^3 ~~ 0,0608`

Met terugleggen, de kans per schot blijft gelijk, dus je moet telkens dezelfde balletjes in de vaas hebben. En daarom moet je na elke trekking het getrokken balletje terugleggen (en dan de vaas schudden).

Bij elk schot kan het schotpercentage anders zijn. Het gegeven schotpercentage is een experimentele kans, een gemiddelde over alle schoten tot dat moment.

Zie figuur, er zijn voor het tweede balletje nu nog drie mogelijkheden.

`text(P)(X=1) = 3/4 * 1/3 + 1/4 * 3/3 = 2/4 = 0,5`

`text(P)(X=1) = 3/4 * 1/3 + 1/4 * 3/3 = 2/4 = 0,5`

Iemand kan meerdere taken uitvoeren.

Dit is een trekking met terugleggen. In de bijbehorende kansboom zijn er drie routes die hieraan voldoen: `text(P)(v vm)` , `text(P)(vmv)` en `text(P)(mv v)` .

Deze zijn elk gelijk aan `text(P)(v) * text(P)(v) * text(P)(m) = 5 / 9 * 5 / 9 * 4 / 9 = 100 / 729` .

`text(P)( text(2 vrouwen, 1 man)) = 3 * 100 / 729 = 300 / 729`

`text(P)(mmm) = (4 / 9 )^3 = 64 / 729`

`text(P)(text(hoogstens 2 vrouwen)) = 64 / 729 + 300 / 729 + 240 / 729 = 604 / 729`

Twee balletjes trekken, dus een kansboom van twee lagen.

Telkens de keuze tussen een blauw (met kans `4/6` ) of een rood (met kans `2/6` ) balletje.

De kansen blijven in beide lagen gelijk: het is een situatie met terugleggen.

`text(P)(br) = 4/6 * 2/6 = 8/36 = 2/9`

`text(P)(rb) + text(P)(br) = 8/36+8/36 = 16/36 = 4/9`

Niemand mag meerdere taken uitvoeren.

`text(P)(text(vvm of vmv of mvv)) = 5/9*4/8*4/7+ 5/9*4/8*4/7+4/9*5/8*4/7= 240/504=10/21 `

`text(P)(mmm) = 4 / 9 * 3 / 8 * 2 / 7 = 24 / 504=1/21 `

`text(P)(text(hoogstens twee vrouwen))= 1/21 + 5/14 + 10/21 = (2+15+20)/42=37/42`

Bekijk de figuur.

`text(P)(text(rb of br)) = text(P)(rb) + text(P)(br) = 2/6 * 4/5 + 4/6 * 2/5 = 16/30= 8/15`

`text(P)(text(rr of bb)) = text(P)(rr) + text(P)(text(bb)) = 2/6 * 1/5 + 4/6 * 3/5 = 14/30=7/15`

Je moet nu systematisch tellen en dus gebruik maken van combinatoriek. Bedenk dat dit een trekking zonder terugleggen is. Je kiest telkens een duo uit een geheel van `6` : dit is een combinatie van `6` boven `2` .

`((6), (2)) = 15`

Verschillende kleur: `4` mogelijkheden voor de witte, gecombineerd met `2` mogelijkheden voor de rode geeft `4 xx 2 = 8` mogelijkheden. Je kunt hier zelfs een boomdiagram voor gebruiken: de eerste laag geeft `4` takken voor de witte balletjes; de tweede laag geeft telkens `2` takken voor de rode balletjes.

Zelfde kleur: Wit: je kiest nu `2` uit `4` en dat geeft een combinatie van `4` boven `2` en dat geeft `((4),(2)) = 6` mogelijkheden. Rood: er is precies `1` duo dat helemaal rood is. Samen: `7` mogelijkheden.

`text(P)(text(verschillende kleur)) = text(P)(rw) + text(P)(wr) = 8/15 = text(P)(rw text( of ) wr)`

`text(P)(text(gelijke kleur)) = text(P)(rr) + text(P)(ww) = 7/15 = text(P)( rr text( of ) ww )`

`text(P)(X=2) = 0,25 * 0,16 = 0,04`

`text(P)(X=0) = 0,75 * 0,84 = 0,63`

`text(P)(text(minstens 1 treffer)) = text(P)(text(1 treffer)) + text(P)(text(2 treffers))`

`text(P)(text(1 treffer))` staat uitgewerkt in het voorbeeld en is `0,33` .

`text(P)(text(2 treffers))` heb je hiervoor in deze opgave berekend.

`text(P)(text(minstens 1 treffer)) = 0,33 + 0,04 = 0,37`

Er is een route in de kansboom die hieraan voldoet:

`text(P)(text(Jari en Marieke hebben beiden eenzelfde cadeau)) = 3/11 * 2/10 = 6/110 = 3/55`

Er is een route in de kansboom die hieraan voldoet:

`text(P)(text(Marieke een A, Jari een B)) = 8/11*3/10=24/110 = 12/55`

Nu zijn er twee routes die voldoen:

`text(P)(text(Jari en Marieke hebben samen een A en een B gepakt)) = 3/11 * 8/10 + 8/11 * 3/10 = 24/55`

Maak eventueel een kansboom van drie lagen.

`5/15 * 4/14 * 3/13 ~~ 0,0220`

Er zijn drie mogelijkheden: RRG, RGR, GRR.

`5/15 * 4/14 * 4/13 * 3 ~~ 0,0879`

Er zijn zes mogelijkheden: GRB, GBR, RGB, RBG, BGR, BRG.

`4/15 * 5/14 * 6/13 * 6 ~~ 0,2637`

`3/8`

Nee, de eerste taak slaat op de eerste taak die verloot wordt. Dan zijn er nog `8` mensen waar uit gekozen kan worden. Bij de tweede loting zijn er nog maar `7` mensen.

Teken een kansboom van twee lagen: voor beide taken `1` laag.

De bovenste laag heeft een tak voor de mannen en een tak voor de vrouwen.

Bedenk dat dit een situatie zonder terugleggen is.

`text(P)(VV) = 5/8 * 4/7 = 20/56 = 5/14`

Gebruik een kansboom met twee lagen: in iedere laag staan dezelfde kansen. In de bovenste laag zijn `8` takken: voor iedere persoon één.

Voor de gevraagde kans gelden `8` routes.

`text(P)(text(2 maal zelfde persoon)) = 8 * (1/8 * 1/8) = 1/8`

`text(P)(text(2 maal zelfde man)) = 3 * (1/8 * 1/8) = 3/64`

`text(P)(VV) = 5/8 * 5/8 = 25/64 ~~ 0,391` . Dit is groter dan `5/14 ~~ 0,357` .

De kans is dus groter.

Gebruik eventueel een kansboom van twee lagen. Alleen route Rh, Bp is geldig:

`text(P)(text(eerste rood hout, tweede blauw plastic)) = 4/10 * 1/10 = 4/100 = 0,04`

`text(P)( text(rood hout, blauw plastic)) = 4/10 * 1/10 + 1/10 * 4/10 = 0,04 + 0,04 = 0,08`

`text(P)(text(eerste rood hout, tweede blauw plastic)) = 4/10 * 1/9 = 4/90 =2/45`

`text(P)( text(rood hout, blauw plastic)) = 4/10 * 1/9 + 1/10 * 4/9 = 4/90 + 4/90 = 8/90=4/45`

Met terugleggen: `text(P)(text(RB of BR)) = 7/10 * 3/10 + 3/10 * 7/10 = 42/100 = 21/50` .

Zonder terugleggen: `text(P)(text(RB of BR)) = 7/10 * 3/9 + 3/10 * 7/9 = 42/90 = 7/15` .

Als je er een rood (blauw) balletje uit haalt, wordt daarna de kans op een blauw (rood) balletje iets groter.

Met drie dobbelstenen kun je maximaal `18` ogen gooien: dit kan alleen door drie keer een 6 te gooien.

`17` ogen kun je gooien met de combinaties 5,6,6 en 6,5,6 en 6,6,5.

Er zijn dus `4` routes in de kansboom die hierbij passen. Bedenk dat elk takje in de kansboom een kans van `1/6` heeft.

`text(P)(text(17 of 18 ogen)) = 4 * (1/6 * 1/6 * 1/6) = 4/216 = 1/54`

`16` ogen gooi je met de combinaties 4,6,6 en 6,4,6 en 6,6,4 maar ook met 6,5,5 en 5,6,5 en 5,5,6.

Dit zijn `6` routes in de kansboom; elk van deze routes heeft een kans van `1/6 * 1/6 * 1/6 = 1/216` .

`text(P)(text(16 ogen)) = 6/216 = 1/36`

`text(P)(text(minstens 2 zessen)) = text(P)(text(2 zessen)) + text(P)(text(3 zessen))`

`text(P)(text(2 zessen))` :

De andere dobbelsteen mag dan 1 t/m 5 ogen hebben. Stel dat die andere dobbelsteen 1 is: er zijn `3` routes in de kansboom met twee zessen en een 1 (6,6,1 en 6,1,6 en 1,6,6). Zo zijn er `3` routes voor elk van de `5` mogelijke waarden van de andere dobbelsteen. Elke route heeft wederom een kans van `1/216` .

`text(P)(text(2 zessen)) = 5 * 3 * 1/216 = 15/216`

`text(P)(text(3 zessen)) = 1/216`

Dus `text(P)(text(minstens 2 zessen)) = 15/216 + 1/216 = 16/216 = 2/27`

`5` rode (geen zes) met `1` wit balletje(wel een zes); drie keer trekking met terugleggen.

Vaasmodel:

`2` rode balletjes en `8` witte; `3` keer trekken met terugleggen; bereken de kans dat twee van de drie balletjes rood zijn.

Kansboom:

`3` lagen met in de bovenste laag twee takken met kans `0,2` en `0,8` ; de kansen blijven in alle lagen gelijk.

`text(P)(text(twee van de drie keer verhinderd)) = 3 * (0,2*0,2*0,8) = 0,096`

Vaasmodel:

een vaas voor Anne met `3` blauwe (ziek) en `7` groene (gezond) balletjes en een vaas voor de heer Nijdam met `2` rode (verhinderd) en `8` witte balletjes. Trek uit elke vaas een balletje. Bij de uitkomsten blauw rood, blauw wit en groen rood gaat de bijles niet door.

`text(P)(text(bijles gaat niet door)) = 3/10 * 2/10 + 3/10 * 8/10 + 7/10 * 2/10 = 0,44`

Kansboom:

`text(P)(text(bijles gaat niet door)) = 0,3 + 0,7 * 0,2 = 0,44`

Mogelijk hebben beide clubs in het verleden bijvoorbeeld `6` keer bij Arsenal en ook `6` keer bij Juventus tegen elkaar gespeeld. Bij de thuiswedstrijden heeft Arsenal er `3` gewonnen en `2` verloren. Bij de uitwedstrijden heeft Arsenal er `2` gewonnen en `2` verloren.

Kansboom met twee lagen, één voor iedere wedstrijd.

Bovenste laag heeft drie takken: winst voor Arsenal (kans `1/2` ), winst voor Juventus (kans `1/3` ) en gelijkspel (kans `1/6` ).

In de onderste laag hebben alle drie de takken kans `1/3` .

In de kansboom zijn dit de routes AJ en JA.

`text(P)(text(ieder wint een wedstrijd)) = 1/2 * 1/3 + 1/3 * 1/3 = 1/6 + 1/9 = 5/18`

Een kansboom met vier lagen, voor iedere inzittende een laag. Iedere keer splitsen er `2` takken: inzittende is wel kleurenblind (kans `1/12` ) of niet kleurenblind (kans `11/12` ).

`726/20736 = 121/3456 ~~ 3,5` %

Er zijn evenveel zakjes met `9` rode en `7` gele als er zakjes zijn met `7` rode en `9` gele: over het totaal gezien zijn er dus evenveel rode als gele gomballen in omloop.

Je kunt ook een kansboom maken.

Ja, want deze kans is `6,25` %

In het eerste geval: de kans is dan ongeveer `7,2` % terwijl dat in het tweede geval ongeveer `6,7` % is.

Dat is ook logisch: in het eerste geval heb je zowel voor de tweede als de derde gombal meer kans op een gele bal terwijl in het tweede geval alleen de derde gombal meer kans op geel heeft.