Kansrekenen > Toevalsvariabelen
Overzicht
12345Toevalsvariabelen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

`0` , `1` , `2` , of `3` .

b

`text(P)(X = 0) = 0,422` ; `text(P)(X = 1) = 0,422` ; `text(P)(X = 2) = 0,141` ; `text(P)(X = 3) = 0,016` .

c

`0` of `1`

Opgave 1
a

Je kunt nu `0, 1, 2, 3` of `4` scores hebben. Gebruik eventueel de kansboom:

`text(P)(X = 0) = 0,75^4 ~~ 0,3164`

`text(P)(X = 1) = 0,75^3 * 0,25 * 4 ~~ 0,4219`

`text(P)(X = 2) = 0,75^2 * 0,25^2 * 6 ~~0,2109`

`text(P)(X = 3) = 0,75 * 0,25^3 * 4 ~~0,0469`

`text(P)(X = 4) = 0,25^4 ~~ 0,0039`

` x ` ` 0 ` ` 1` ` 2 ` ` 3 ` ` 4`
` text(P)(X = x) ` ` 0,3164 ` ` 0,4219 ` ` 0,2109 ` ` 0,0469 ` ` 0,0039`
b

Het verwachte aantal scores is: `0 * 0,3164 + 1 * 0,4219 + 2 * 0,2109 + 3 * 0,0469 + 4 * 0,0039 = 1` .

Opgave 2
a

`text(P)( M = 1 ) = 3 * 4 / 9 * (5 / 9)^2 = 300 / 729`

`text(P)( M = 2 ) = 3 * (4 / 9)^2 * 5 / 9 = 240 / 729`

b

`text(P)(M ge 2) = text(P)(M = 2) + text(P)(M = 3) = 240 / 729 + 64 / 729 = 304 / 729`

c

`text(P)(M lt 2) = text(P)(M = 0) + text(P)(M = 1) =`
`1 - text(P)(M ge 2) = 1 - 304 / 729 = 425 / 729`

Opgave 3
a

Je kunt `0, 1, 2` of `3` keer een 6 gooien met drie dobbelstenen.

`text(P)(X = 0) = (5 / 6)^3 = 125 / 216`

`text(P)(X = 1) = 3* 1 / 6 * (5 / 6)^2 = 75 / 216`

`text(P)(X = 2) = 3* (1 / 6)^2 * 5 / 6 = 15 / 216`

`text(P)(X = 3) = (1 / 6)^3 = 1 / 216`

`x` `0` `1` `2` `3`
`text(P)(X = x)` `125/216` `75/216` `15/216` `1/216`
b

Verwachtingswaarde is `0 * 125 / 216 + 1 * 75 / 216 + 2 * 15 / 216 + 3 * 1 / 216 = 0,5` .

c

Als je heel vaak met drie dobbelstenen gooit, mag je per `2` keer gooien één zes verwachten.

Opgave 4
a
`v` 0 1 2 3
`text(P)(V=v)` `24/504` `180/504` `240/504` `60/504`

Naar verwachting worden er `0 * 24 / 540 + 1 * 180 / 540 + 2 * 240 / 540 + 3 * 60 / 540 = 1 2/3` taken door een vrouw gedaan.

b

Waarschijnlijk niet, want de verwachting van de mannen was `1 1/3` en er zijn `3` taken uit te voeren.

Opgave 5
a

In totaal zijn er `178` zaaddozen onderzocht (tel alle frequenties bij elkaar op: `1 + 2 + 8 + ... + 23 + 1` ). De relatieve frequentie van het aantal onderzochte zaaddozen met `3` zaden is `1 / 178 ~~ 0,0056` .
Zo werkt het ook bij alle andere relatieve frequenties in deze tabel.

aantal zaden 3 4 5 6 7 8 9 10 11
relatieve frequentie 0,0056 0,0112 0,0449 0,0730 0,1236 0,2528 0,3539 0,1292 0,0056
b

`text(P)( Z gt 8 ) = text(P)( Z = 9) + text(P)( Z = 10) + text(P)( Z = 11) = 0,3539 + 0,1292 + 0,0056 = 0,4887 ~~ 49` %

c

`text(P)( Z le 4) = text(P)( Z = 3) + text(P)( Z = 4) = 0,0056 + 0,0112 = 0,0168`

d

Dit kun je het snelste via de GR doen: het gemiddelde van deze frequentietabel is tevens de verwachtingswaarde van het aantal zaden per zaaddoos. Je kunt natuurlijk ook de standaardberekening van de verwachtingswaarde maken: `3 * 0,0056 + 4 * 0,0112 + 5 * 0,0449 + 6 * 0,073 + 7 * 0,1236 + 8 * 0,2528 + 9 * 0,3539 + 10 * 0,1292 + 11 * 0,0056 ~~ 8,15` .

Opgave 6
a

Zie tabel.

was afwas auto
M `1/7` `1/14` `2/7` `1/2`
V `4/21` `11/42` `1/21` `1/2`
`1/3` `1/3` `1/3`
b

Gebruik de kruistabel: `text(P)(G =text(man)) = 1/2` .

Let op! We laten de algemene kans dat een persoon een man is in deze groep buiten beschouwing. `text(P)(G = text(man))` is in deze steekproef de kans dat een taak door een man wordt uitgevoerd.

`text(P)(T =text(afwas)) = 1/3` en dus is het product van deze kansen `1/2 * 1/3 = 1/6` .

Omdat `text(P)(G = text(man en ) T = text(afwas)) = 1/14` en dus ongelijk aan `1/6` is, zijn deze twee gebeurtenissen afhankelijk van elkaar (in deze steekproef).

c

Nee. De toevalsvariabelen zijn afhankelijk van elkaar (hangen met elkaar samen) en de taakverdeling is in die zin oneerlijk: het maakt bij de taakverdeling uit of je een vrouw of een man bent welke taak je krijgt. Dit kun je concluderen omdat er minstens één gecombineerde kans ongelijk is aan het product van de twee afzonderlijke kansen, zoals je bij b zag.

Opgave 7
a

Maak eventueel een kansboom met vier lagen.

`text(P)(J=0) = (1/2)^4 = 1/16`

`text(P)(J=1) = 4*(1/2)^4 = 4/16`

`text(P)(J=2) = 6*(1/2)^4 = 6/16`

`text(P)(J=3) = 4*(1/2)^4 = 4/16`

`text(P)(J=4) = (1/2)^4 = 1/16`

`j` `0` `1` `2` `3` `4`
`text(P)(J=j)` `1/16` `4/16` `6/16` `4/16` `1/16`
b

Gevraagde kans met de somregel: `text(P)(J ge 2) = text(P)(J=2) + text(P)(J=3) + text(P)(J=4) = 6/16 + 4/16 + 1/16 = 11/16` .

Gevraagde kans met de complementregel: `text(P)(J ge 2) = 1 - text(P)(J lt 2) = 1 - text(P)(J=0) - text(P)(J=1) = 1 - 1/16 - 4/16 = 11/16` .

c

Omdat de kansen symmetrisch verdeeld zijn over de mogelijkheden, zou je kunnen verwachten dat de middelste mogelijkheid `2` de verwachtingswaarde is; dat blijkt ook zo te zijn: `1/16 * 0 + 4/16 * 1 + 6/16 * 2 + 4/16 * 3 + 1/16 * 4 = 2` .

d

`150*2 = 300`

Opgave 8
a

Maak eventueel een kansboom met vier lagen; bovenste laag start met tak "groen" en tak "rood" .

In totaal zijn er `33` balletjes.

`text(P)(X=0) = (30/33)^4 ~~ 0,6830`

`text(P)(X=1) = 4 * 3/33 * (30/33)^3 ~~ 0,2732`

`text(P)(X=2) = 6 * (3/33)^2 * (30/33)^2 ~~ 0,0410`

`text(P)(X=3) = 4 * (3/33)^3 * (30/33) ~~ 0,0027`

`text(P)(X=4) = (3/33)^4 ~~ 0,0001`

`x` `0` `1` `2` `3` `4`
`text(P)(X=x)` `0,6830` `0,2732` `0,0410` `0,0027` `0,0001`
b

Bedenk: er zijn maar `3` groene balletjes dus je kunt er maximaal `3` pakken bij `4` keer trekken... De bijbehorende kansboom mist daarom wat takken.

`text(P)(Y=0) = (30/33) * (29/32) * (28/31) * (27/30) ~~ 0,6697`

`text(P)(Y=1) = 4 * (30/33) * (29/32) * (28/31) * (3/30) ~~ 0,2977`

`text(P)(Y=2) = 6 * (30/33) * (29/32) * (3/31) * (2/30) ~~ 0,0319`

`text(P)(Y=3) = 4 * (30/33) * (3/32) * (2/31) * (1/30) ~~ 0,007`

Meer dan `3` kan niet, dus je bent nu klaar.

`x` `0` `1` `2` `3`
`text(P)(Y=x)` `0,6697` `0,2977` `0,0319` `0,007`
Opgave 9
a

De waarden `0` t/m `4` .

b

Maak eventueel een kansboom met vier lagen; de situatie is zonder terugleggen.

Totale aantal leerlingen is `28` .

`text(P)(M=0) = 12/28 * 11/27 * 10/26 * 9/25 ~~ 0,0242`

`text(P)(M=1) = 4 * 12/28 * 11/27 * 10/26 * 16/25 ~~ 0,1719`

`text(P)(M=2) = 6 * 12/28 * 11/27 * 16/26 * 15/25 ~~ 0,3868`

`text(P)(M=3) = 4 * 12/28 * 16/27 * 15/26 * 14/25 ~~ 0,3282`

`text(P)(M=4) = 16/28 * 15/27 * 14/26 * 13/25 ~~ 0,0889`

`m` `0` `1` `2` `3` `4`
`text(P)(M=m)` `0,0242` `0,1719` `0,3868` `0,3282` `0,0889`
c

`0 * 0,0242 + 1 * 0,1719 + 2 * 0,3868 + 3 * 0,3282 + 4 * 0,0889 = 2,286 ~~ 2`

Opgave 10
a

Bekijk de tabel.

`z` `1` `2` `3` `4` `5` `6` `8` `9` `10` `12` `15` `16` `18` `20` `24` `25` `30` `36`
`text(P)(Z=z)` `1/36` `2/36` `2/36` `3/36` `2/36` `4/36` `2/36` `1/36` `2/36` `4/36` `2/36` `1/36` `2/36` `2/36` `2/36` `1/36` `2/36` `1/36`
b

Verwachtingswaarde is `1 * 1/36 + 2 * 2/36 +` ... `+ 30 * 2/36 + 36 * 1/36 = 441/36 = 12,25` .

`text(P)(text(winst bij één spel)) = text(P)(Z gt 12) = text(P)(Z ge15) = 2/36 + 1/36 + 2/36 + 2/36 + 2/36 + 1/36 + 2/36 + 1/36 = 13/36`

De verwachtingswaarde is € 12,25, dus € 12,00 per spel inzetten levert gemiddeld winst op. De winkans bij één spel is `13/36` .

Opgave 11
a

Maak eventueel de bijbehorende kansboom.

Kansverdeling:

`text(P)(S=3) = 1/4`

`text(P)(S=4) = 3/8`

`text(P)(S=5) = 3/8`

Verwachte aantal sets: `4 1/8` .

b

`100 * 4 1/8 = 412,5` sets.

Dus `412` of `413` sets.

c

Bekijk de tabel.

`s` `3` `4` `5`
`text(P)(S=s)` `44/90` `22/90` `24/90`

Verwachtingswaarde is `3 * 44/90 + 4 * 22/90 + 5 * 24/90 = 340/90 = 3 7/9` sets.

d

Hier heb je de kansboom voor nodig, dus maak die eerst.

Er zijn `2` manieren om in drie sets klaar te zijn `text(P)(S=3) = 2 * 0,5 * 0,7^2 = 0,49` .

Er zijn `6` manieren om in vier sets klaar te zijn:

`text(P)(S=4) = 2 * 0,5 *0,3^2 * 0,7 + 4 * 0,5 * 0,3 * 0,7^2 = 0,273`

Er zijn dan nog `12` manieren om in vijf sets klaar te zijn:

`text(P)(S=5) = 2 * 0,5 * 0,3 * 0,7^3 + 4 * 0,5 * 0,3^2 * 0,7^2 + 4 * 0,5 * 0,3^3 * 0,7 + 2 * 0,5 * 0,3^4 = 0,237`

e

Verwachtingswaarde: `3 * 0,49 + 4 * 0,273 + 5 * 0,237 = 3,747` .

Opgave 12

Om deze vraag te kunnen beantwoorden moet je voor alle vier de mogelijkheden checken of geldt: `text(P)(V=v text( en ) K=k) = text(P)(V=v) * text(P)(K=k)` .

Als dat voor alle vier zo is, dan zijn `V` en `K` onafhankelijk van elkaar; zo niet dan is de kwaliteit afhankelijk van de verfspuiter van dienst.

Het is handig als de kruistabel geen absolute frequenties bevat maar relatieve frequenties:

`K` \ `V` A B
goed 0,0576 0,0368 0,944
niet goed 0,024 0,032 0,056
0,6 0,4 1

`text(P)(V=text(A) text( en ) K=text(goed)) = 576/1000 = 0,576`

en `text(P)(V=text(A)) * text(P)(K =text(goed)) = 0,6 * 0,944 = 0,5664` .

Omdat `0,576 != 0,5664` is dit al het eerste bewijs: de gebeurtenissen "verfspuiter is A" en "kwaliteit is goed" zijn afhankelijk van elkaar en dus kun je ook meteen al concluderen dat de toevalsvariabele "kwaliteit" afhankelijk is van de toevalsvariabele "verfspuiter van dienst" (althans: in deze steekproef).

Je hebt in deze situatie helemaal niets aan verwachtingswaarden: zowel `V` als `K` zijn kwalitatieve variabelen dus je kunt niet rekenen met hun waarden.

Om de vraag te kunnen beantwoorden welke verfspuiter de beste kwaliteit levert, vergelijk je de kansen `text(P)(K=text( goed) | V=text( A))` en `text(P)(K=text(goed) | V=text(B))` met elkaar.

`text(P)(K=text(goed) | V=text(A)) = (0,576)/(0,6) = 0,96`

`text(P)(K=text(goed) | V=text(B)) = (0,368)/(0,4) = 0,92`

Hieruit volgt dat A de beste kwaliteit levert (althans: in deze steekproef).

Opgave 13Vreemde dobbelstenen
Vreemde dobbelstenen
a

Warren wint als Bill `3` gooit en Warren `4` .

`text(P)(text(Warren wint))= text(P)(text(Bill een 3)) * text(P)(text(Warren een 4)) = 5/6 * 5/6 = 25/36`

Je kunt ook een `6` bij `6` rooster maken en de mogelijkheden tellen: in `25` van de in totaal `36` mogelijkheden wint Warren.

b

Met twee groene dobbelstenen kun je de ogensommen `4` , `7` en `10` werpen.

Maak eventueel een rooster voor de twee groene dobbelstenen om de drie bijbehorende kansen te berekenen:

`4` gooi je met kans `9/36`

`7` gooi je met kans `18/36`

`10` gooi je met kans `9/36`

Maak nu eventueel gebruik van een kansboom: de eerste laag geeft de drie mogelijke ogensommen voor Warren en de tweede laag geeft telkens de drie mogelijke ogensommen voor Bill.

Routes in de kansboom waarmee Bill wint, zijn:

`2` en `4` met kans `1/36 * 9/36 = 9/1296`

`2` en `7` met kans `1/36 * 18/36 = 18/1296`

`2` en `10` met kans `1/36 * 9/36 = 9/1296`

`5` en `7` met kans `10/36 * 18/36 = 180/1296`

`5` en `10` met kans `10/36 * 9/36 = 90/1296`

`8` en `10` met kans `25/36 * 9/36 = 225/1296`

Al deze kansen bij elkaar opgeteld tot `59/144` is de gevraagde kans.

(bron: examen vwo wiskunde A in 2014, tweede tijdvak)

Opgave 14Casino
Casino
a

Bedenk: je gooit telkens op totdat je kruis gooit en dan gooi je op tot je munt gooit. In totaal gooi je maximaal zes keer.

`y` `0` `1` `2` `4` `8` `16` `32`
`text(P)(Y=y)`

`0,015625`

`0,5`

`0,25` `0,125` `0,0625` `0,03125` `0,015625`
b

Hiervoor kun je bij uitstek de verwachtingswaarde gebruiken.

De verwachtingswaarde van `Y` is:

`0 * 0,015625 + 1 * 0,5 + 2 * 0,25 + 4 * 0,125 + 8 * 0,0625 + 16 * 0,03125 + 32 * 0,015625 = 3` euro.

Om quitte te spelen (op de lange duur) moet het casino € 3,00 vragen; om winst te krijgen (op de lange duur) moet het casino meer dan € 3,00 vragen.

c

Dat krijg je als je bij de vijfde of de zesde keer kruis gooit.

`text(P)(Y=5 text( of ) Y=6) = 0,03125 +0,015625 = 0,046875`

Opgave 15
a

`P(Z=0 )=1/35` ; `P(Z=1 )=12/35` ; `P(Z=2 )=18/35` en `P(Z=3 )=4/35` .

b

`22/35`

c

`1 5/7` vrouw.

Opgave 16
a

`6,4` %.

b

Categorie III: twee keer opgemerkt.

c

`72`

(examen havo wiskunde A in 1990, eerste tijdvak)

Opgave 17

Zie tabel.

goed fout
machine A `0,5961` `0,0039` `0,6`
machine B `0,3974` `0,0026` `0,4`
`0,9935` `0,0065` `1`
Inleiding
Verkennen
Uitleg
Theorie
Voorbeeld 1
Voorbeeld 2
Voorbeeld 3
Voorbeeld 4
Verwerken
Toepassen
Testen
Antwoorden
verder | terug