Kansrekenen > TotaalbeeldExamenopgaven
Bij het examen voor vinoloog (wijnkenner) moeten de kandidaten wijnen herkennen door te proeven. Uit een artikel komt de volgende tekst.
In deze opgave kijken we naar de kans dat iemand die helemaal geen verstand van wijnen
heeft het examen haalt. Omdat hij uitsluitend gokt, noemen we hem een gokker.
Er staan, volgens bovenstaande tekst,
`12`
glazen met wijn op tafel. Iedere deelnemer krijgt
`12`
kaartjes met de namen van die wijnen. De opdracht is: leg bij elk glas het goede
kaartje. De gokker legt zijn kaartjes dus in willekeurige volgorde bij de verschillende
glazen.
Op hoeveel verschillende manieren kan de gokker de kaartjes neerleggen?
Om het iets gemakkelijker te maken, heeft de examencommissie de `12` wijnen in `4` groepjes van `3` verdeeld. Bij elk groepje liggen `3` kaartjes met de namen van die `3` wijnen. De opdracht van de kandidaat is om bij elk groepje de kaartjes bij het juiste glas te leggen.
Stel een kansverdeling op van het aantal door de gokker goed neergelegde kaartjes per groepje van `3` .
In deze tabel zie je een mogelijk verloop van het examen. De "route" 3 – 1 – 0 – 3 levert in totaal `7` goed geraden wijnen.
| eerste drietal | tweede drietal | derde drietal | vierde drietal | |
|
aantal goed |
0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 3 | 3 | 3 | 3 |
Om te slagen moeten er minstens `9` wijnen goed geraden worden.
Bereken de kans dat een gokker slaagt.
(bron: voorbeeldexamen wiskunde A1,2 vwo 2001)
Bij vierkeuzevragen staan bij elke vraag vier mogelijke antwoorden: A, B, C en D.
Slechts één daarvan is juist. Een kandidaat kan één van de vier antwoorden kiezen
of de vraag onbeantwoord laten. Bij keuze van het juiste antwoord wordt
`1`
punt toegekend, in alle andere gevallen
`0`
punten. Als een kandidaat absoluut niet weet welk antwoord juist is en welke antwoorden
onjuist zijn, doet hij er daarom verstandig aan om toch een antwoord te kiezen. Dit
leidt tot gokgedrag.
Daarom is ook wel eens geopperd om bij een onjuist antwoord strafpunten te geven.
Een kandidaat heeft dan twee keuzes: niets invullen levert
`0`
punten op; wel iets invullen levert
`1`
punt op bij een juist antwoord en
`text(-)0,5`
punt (
`0,5`
strafpunt) bij een onjuist antwoord.
Bereken de verwachtingswaarde van de score per vraag bij dit strafpuntensysteem als een kandidaat gokt.
We kijken nu naar een andere manier van toetsen met vierkeuzevragen. Hierbij hoeft
de kandidaat niet meer één antwoord te kiezen. In plaats daarvan vraagt men de kandidaat
achter elk van de vier mogelijke antwoorden A, B, C en D de subjectieve kans op te
schrijven.
Een kandidaat die bijvoorbeeld noteert
`p_A=0,2`
;
`p_B=0,8`
;
`p_C=0`
;
`p_D=0`
geeft daarmee aan dat hij er vrij zeker van is dat B juist is, maar dat A ook nog
zou kunnen, en dat C en D volgens hem zeker fout zijn. De opgeschreven getallen
`p_A`
,
`p_B`
,
`p_C`
en
`p_D`
mogen natuurlijk niet negatief zijn en moeten bij elkaar opgeteld
`1`
zijn.
Bij iedere vraag wordt een score berekend die aangeeft
"hoe dicht je bij het juiste antwoord zit"
.
Als bijvoorbeeld C het juiste antwoord is, dan wordt de score berekend met de volgende
formule:
score
`=1 -(p_A^2 +p_B^2 + (1 - p_C) ^2+p_D^2 )`
.
Voor de gevallen waarbij A, B of D het juiste antwoord is, gelden soortgelijke formules.
De maximale score is
`1`
en de minimale score is
`text(-)1`
.
Bij een bepaalde vraag is het juiste antwoord B. Een kandidaat die niet helemaal zeker
van zijn zaak is, noteert bij deze vraag als subjectieve kansen:
`p_A=0,2`
;
`p_B=0,7`
;
`p_C=0`
;
`p_D=0,1`
.
Bereken de score voor deze kandidaat bij deze vraag.
Stel dat bij een andere vraag C het juiste antwoord is. Een kandidaat haalt bij deze vraag de minimale score.
Welke subjectieve kansen kan de kandidaat opgeschreven hebben achter de antwoorden A, B, C en D? Vermeld alle mogelijkheden.
Een kandidaat moet een vraag beantwoorden maar heeft geen idee welk antwoord juist is en welke antwoorden onjuist zijn. Er zijn heel veel mogelijkheden voor de kandidaat om die vraag te beantwoorden:
-
Mogelijkheid I:
De kandidaat zou kunnen gokken op een antwoord door daar `1` achter te schrijven (en dus `0` achter de andere antwoorden). Het antwoord waarbij de kandidaat `1` heeft gezet, kan goed zijn. Dan is de score `1` . Als het niet goed is, is de score `text(-)1` . De verwachte score is dan: `1/4*1 +3/4*text(-)1 = text(-)0,5` . -
Mogelijkheid II:
Hij kan ook op twee antwoorden gokken door achter ieder van die twee antwoorden `1 / 2` te schrijven. -
Mogelijkheid III:
Hij kan ook op drie antwoorden gokken door achter ieder van die drie antwoorden `1 /3` te schrijven. -
Mogelijkheid IV:
En tenslotte kan hij ook op alle vier de antwoorden gokken door achter alle antwoorden `1 /4` te schrijven. Deze laatste mogelijkheid levert hem een score van `0,25` op.
Er zijn nog veel meer mogelijkheden om de vraag te beantwoorden. We kijken echter alleen naar de bovengenoemde vier mogelijkheden. De score bij mogelijkheid IV is hoger dan de verwachte score bij mogelijkheid I. Mogelijkheid IV is daarmee een "verstandiger" strategie dan mogelijkheid I.
Onderzoek welk van de mogelijkheden II, III en IV de meest verstandige strategie is.
We vergelijken de antwoorden van twee personen op een vierkeuzevraag. Tim snapt niets van de vraag en besluit bij ieder antwoord `0,25` in te vullen. Tom weet zeker dat de antwoorden B en D onjuist zijn. Zijn antwoord op deze vraag zal de vorm hebben die je in de tabel ziet. Hierbij is `a` een getal tussen `0` en `1` (eventueel `0` of 1).
| antwoord | subjectieve kans |
| A | |
| B | |
| C | |
| D |
Stel dat antwoord C juist is. Of Tom bij deze vraag een hogere score haalt dan Tim hangt af van de gekozen waarde van `a` .
Bereken voor welke waarden van a geldt dat Tom bij deze vraag een hogere score haalt dan Tim.
(bron: examen wiskunde A1,2 vwo 2004, eerste tijdvak)