Je laat de boogschutter een (groot) aantal keren schieten, en je houdt bij in welke ringen de schoten terechtkomen. Hieruit kun je voor elke ring de relatieve frequentie berekenen: dit correspondeert met de kans dat de boogschutter die ring raakt.

`0·0,02+1·0,02+2·0,04+3·0,10+4·0,09+5·0,11+6·0,12+7·0,12+8·0,15+9·0,15+10·0,08=6,22`

Dit getal representeert de gemiddelde score die een schot met de boog aanneemt, naargelang er vaker geschoten wordt.

Hierbij gebruik je de verwachtingswaarde: `15*6,22=93,3` punten

De variantie is `(0-6,22)^2*0,02 + (1-6,22)^2*0,02 + ... + (10-6,22)^2*0,08≈6,5316` .

Neem de wortel hiervan, de standaardafwijking is ongeveer `2,56` .

Zie figuur.

Een goede boogschutter zit relatief vaak in de buurt van de `10` punten.

`text(E)(Y) = 0 * 0,01 + 1 * 0,02 + … + 9 * 0,21 + 10 * 0,24 = 7,59`

`text(Var)(Y) ≈ (0-7,59)^2 * 0,01 + (1-7,59)^2*0,02 + ...+ (10-7,59)^2*0,24 ≈ 5,9419`

`sigma (Y) = sqrt(5,9419) ≈ 2,44`

B is de betere schutter: een hogere verwachtingswaarde met een kleinere standaardafwijking.

Je kunt het overigens ook al zien aan de verdelingen zelf: bij B zitten de hoogste kansen in de kansverdeling allemaal bij de hoge scores.

`1+2+...+6` is de som van een rekenkundige rij. Dus deze som is gelijk aan `6*(1+6)/2` .

Daarom is `1/6*(1+2+...+6)=1/6*6*(1+6)/2=3,5` .

Zie het voorbeeld voor de berekening.

In totaal zijn er `6*6=36` mogelijke uitkomsten.

Het aantal manieren om `2` ogen te gooien is `1` ; dit correspondeert met een kans `1/36` .

Het aantal manieren om `3` ogen te gooien is `2` ; dit heeft dus kans `2/36` .

Op deze manier kun je snel alle kansen bepalen.

De verwachtingswaarde bij het werpen met twee dobbelstenen is twee keer de verwachtingswaarde van één dobbelsteen. Bij de standaardafwijking is dit wat moeilijker omdat het dan de wortel uit de variantie betreft. Varianties kun je optellen en door het worteltrekken wordt nu de standaardafwijking `sqrt(2 )` keer zo groot. In de volgende paragraaf komt dit uitgebreider aan de orde.

Elk lot heeft een even grote kans om getrokken te worden, namelijk `1/600` .

`text(E)(X)=1/600*(1+2+...+600)=1/600*600*(1+600)/2=300,5`

( `1+2+...+600` is de som van een rekenkundige rij.)

`text(P)(T = 3)=0,15` (direct uit de tabel);

`text(P)(T > 3)= 1 -text(P)(T < = 3)=1 - (0,04 + 0,08 + 0,15) = 0,73`

Voer in: `L_1={1,..., 8}` en `L_2={0,04; ...; 0,01}` .

1-Var Stats `L_1, L_2` geeft `text(E)(T)=4,26` en `σ(T)≈1,43` .

Een afwijking van meer dan één standaardafwijking wil zeggen: `T lt text(E)(U)-sigma(U) approx 2,83` , ofwel `T le 2` , of `T gt text(E)(U)+sigma(U) approx 5,69` , ofwel `T ge 6` .

Nu kun je direct aflezen dat `text(P)(T le 2 vv T ge 6)=0,04+0,08+0,17+0,02+0,01=0,32` .

Invoer voor machine 1: `L_1={970,...,1030}` en `L_2={0,04;...;0,05}` .

1-Var Stats `L_1, L_2` geeft `text(E)(X_1)=1006` gram.

Invoer voor machine 2: `L_3={0,00;...;0,00}` .

1-Var Stats `L_1, L_3` geeft `text(E)(X_2)=1006` gram.

Spreidingsbreedte machine 1: `1030 - 970 = 60` gram.

Spreidingsbreedte machine 2: `1020 - 990 = 30` gram.

Het lijkt erop dat er een groot verschil is tussen beide kansverdelingen. De informatie die echter ontbreekt, is het feit dat ook voor machine 1 geldt dat verreweg de meeste pakken tussen de `990` en de `1020` gram wegen, en dat bij machine 2 meer pakken `1000` gram of minder wegen.

Voer in: `L_1={970,980,...,1030}` , `L_2={0,04, 0,07; ....; 0,05}` en `L_3={0,00; 0,00; ....; 0,00}` .

Plot de kanshistogrammen.

Omdat de spreiding van machine 2 kleiner is dan die van machine 1 en de kansverdeling van machine 2 redelijk klokvormig is (met hoge staven rond het midden), zal de standaardafwijking van machine 2 kleiner zijn dan die van machine 1.

Gebruik opnieuw de grafische rekenmachine om voor beide stochasten de standaardafwijking af te lezen:

`σ(X_1) ~~ 15,0` gram en `σ(X_2) ~~ 9,7` gram

Machine 1:

`text(E)(X_1) - σ(X_1) = 1006 - 15,03 = 990,97` en `text(E)(X_1) + σ(X_1) = 1006 + 15,03 = 1021,03` .

Gevraagde kans:
`text(P)(X_1 = 1000 text( of ) X_1 = 1010 text( of ) X_1 = 1020) = 0,18 + 0,25 + 0,29 = 0,72` ; ofwel `72` %.

Machine 2:

`text(E)(X_2) - σ(X_2) = 1006 - 9,7 = 996,3` en `text(E)(X_1) + σ(X_1) = 1006 + 9,7 = 1015,7` .

Gevraagde kans:
`text(P)(X_2 = 1000 text( of ) X_2 = 1010 ) = 0,30 + 0,35 = 0,65` ; ofwel `65` %.

`text(P)(2 text( euro))= 3 * 3/7*4/6*3/5 = 108/210 = 18/35`

De verwachtingswaarde van de winst van de speler is `0 * 1/35 + 1 * 12/35 + 2 * 18/35 + 3 * 4/35 ~~ 1,71` euro, terwijl hij € 1,75 per keer inlegt. De winstverwachting van de speler is dus negatief. De speelhal zal op de lange duur dus winst maken.

`text(P)(A = 0) = (5 / 6)^3 = 125 / 216`

`text(P)(A = 1) = 3 * (1 / 6) * (5 / 6)^ 2 = 75 / 216`

`text(P)(A = 2) = 3 * (1 / 6)^ 2 * (5 / 6) = 15 / 216 `

`text(P)(A = 3) = (1 / 6)^ 3 = 1 / 216`

De kansverdeling van `A` is:

`a`	`0`	`1`	`2`	`3`
`text(P)(A=a)`	`125/216`	`75/216`	`15/216`	`1/216`

Als `A = 0` dan verlies je je inleg en verdien je `text(-)1` maal je inleg: `U = text(-)1` .

Als `A = 1` dan krijg je je inleg terug en verdien je `0` maal je inleg: `U = 0` .

Als `A = 2` dan krijg je je inleg dubbel terug en verdien je `1` maal je inleg: `U = 1` .

Als `A = 3` dan krijg je je inleg `10` maal terug en verdien je `9` maal je inleg: `U = 9` .

Voor de berekening van de bijbehorende kansen: zie a.

`u`	`text(-)1`	`0`	`1`	`9`
`text(P)(U=u)`	`125/216`	`72/216`	`15/216`	`1/216`

`text(E)(U)≈text(-)0,47` en `σ(U)≈0,90`

Nee, je verliest per ingelegde euro gemiddeld ongeveer € 0,47.

(Door toeval kun je toch een keer iets verdienen.)

aantal zessen `x`	`0`	`1`	`2`	`3`	`4`
`text(P)(X=x)`	`625/1296`	`500/1296`	`150/1296`	`20/1296`	`1/1296`

`text(E)(X)=2/3` zes en `σ(X)≈0,745` .

aantal sets `t`	`3`	`4`	`5`
`text(P)(T=t)`	`1/4`	`3/8`	`3/8`

`text(E)(T)=4,125` is het aantal sets dat er gemiddeld zal worden gespeeld, gerekend over veel partijen met ongeveer even sterke tegenstanders.