Discrete kansmodellen > Verwachting en afwijking
1234567Verwachting en afwijking

Uitleg

Het aantal punten dat je met boogschieten met één pijl behaalt, is een toevalsvariabele, ook wel een stochast genoemd. Omdat de stochast in dit geval geen waarden kan aannemen tussen de al gegeven waarden, spreek je van een discrete stochast.


Bij een bepaalde schutter kun je de relatieve frequentie van elke mogelijke score bepalen. Dit kun je opvatten als kansverdeling van de stochast. Je stelt de stochast vaak voor met een hoofdletter, bijvoorbeeld . Een dergelijke kansverdeling ziet er dan zo uit:

Als je deze kansverdeling goed bekijkt, zie je dat dit geen hele goede boogschutter is: de roos wordt maar in 8% van de gevallen geraakt en de spreiding is nogal groot.

Door in de tabel telkens de score met de relatieve frequentie te vermenigvuldigen en de uitkomsten bij elkaar op te tellen, krijg je de verwachtingswaarde van het aantal punten per schot. Je vindt dan dat de verwachtingswaarde voor deze schutter punten per schot is. De notatie is of .
De verwachtingswaarde is een maat voor het centrum van de verdeling.

Voor de spreiding gebruik je een maat die standaardafwijking heet:

  • Bereken van elke mogelijke score het verschil met de verwachtingswaarde en neem daarvan het kwadraat.

  • Vermenigvuldig de gevonden getallen met hun relatieve frequentie.

  • Tel alle uitkomsten bij elkaar op. Het getal dat je krijgt heet de variantie.

  • Ten slotte trek je de wortel uit de variantie.

Dat geeft de standaardafwijking, een geschikte maat voor de spreiding van de kansverdeling. Voor deze schutter geldt een standaardafwijking van ongeveer . De notatie voor de standaardafwijking is . Voor de variantie noteer je .

Je kunt dit ook met de grafische rekenmachine berekenen. Je voert dan de kansverdeling op de grafische rekenmachine in, net als een frequentietabel. Hoe dit gaat, zie je in het practicum Statistiek met de GR.

Opgave 1

Bekijk de kansverdeling van de boogschutter in de uitleg.

a

Beschrijf hoe deze kansverdeling tot stand is gekomen.

b

Bereken zelf de verwachtingswaarde. Beschrijf wat dit getal voor de boogschutter precies betekent.

c

Deze boogschutter schiet nu keer op de roos. Hoeveel punten verwacht hij in totaal te behalen?

Opgave 2

Bekijk in de uitleg hoe je de standaardafwijking van de kansverdeling berekent.

a

Laat zien dat de standaardafwijking van de kansverdeling van de boogschutter ongeveer is.

b

Teken een kanshistogram van deze kansverdeling. Geef zowel de verwachtingswaarde als de standaardafwijking erin aan.

c

Waarom zal de kansverdeling van een redelijk goede boogschutter niet symmetrisch zijn?

Opgave 3

Van een professioneel boogschutter wordt een tijd lang bijgehouden hoe hij schiet. Aan de hand van die gegevens wordt de volgende kansverdeling van zijn score per schot opgesteld:

Stochast stelt het aantal punten per schot voor.

Bereken van deze boogschutter de verwachte score per schot en de bijbehorende standaardafwijking. Rond zo nodig af op vier decimalen.

verder | terug